加載過程中鋼筋混凝土梁彎曲變形的隨機分析

徐騰飛， 白雪濛， 趙人達

(西南交通大學土木工程學院，四川 成都 610031)

隨著高強材料的使用與結構斷面日益輕薄化 的出現，正常使用極限狀態對結構設計的影響作用日益增強［1］.變形作為正常使用極限狀態的重要指標之一，采用確定性分析方法很難得到與試驗相吻合的結果［2］.事實上，混凝土的力學特性存在隨機性，這將導致鋼筋混凝土梁的變形也具有隨機特性，變形結果很難精確預測［3］.在結構分析中，引入隨機分析方法，有助于改善這一狀況.

目前，對于混凝土結構的隨機性研究，主要針對結構承載能力隨機特性，而對于混凝土結構變形的隨機特性研究較少［4］.文獻［5］分析了鋼筋混凝土梁開裂后短期變形的隨機特性，指出鋼筋混凝土結構變形的變異系數為25% ～30%.A.Scanlon提出了基于概率的結構變形控制方法［6］.文獻［7］討論了混凝土的不確定特性(包括:彈性模量、抗拉強度、時變效應等)對結構變形計算的影響.Bong-Seob Choi等利用蒙特卡洛法研究了給定荷載下鋼筋混凝土梁變形的隨機特性，該研究發現鋼筋混凝土梁在不同的荷載下，變形的概率密度函數呈雙峰或者單峰形態，概率密度函數形態與荷載、截面配筋率相關［2］.

文獻［8］假設鋼筋混凝土梁的變形概率密度形態為正態或對數正態分布，考察了鋼筋混凝土梁的正常使用極限狀態的可靠度.文獻［9］與文獻［10］分別利用規范公式對鋼筋混凝土梁與鋼筋混凝土橋梁進行了正常使用極限狀態可靠度分析.然而文獻［8-10］均未研究鋼筋混凝土梁變形的隨機特性.

文獻［11］利用響應面法結合蒙特卡洛抽樣對鋼筋混凝土柱的長期變形進行概率預測，發現當偏心受壓柱最大應力接近混凝土抗拉強度時，抗拉強度對鋼筋混凝土柱長期變形的隨機性影響很大.文獻［12］研究了最大名義拉應力接近混凝土抗拉強度時的鋼筋混凝土梁的隨機變形特性，并采用分片響應面的方法，解決了開裂非線性引起的鋼筋混凝土梁剛度突變所導致的響應面不光滑問題.

以上關于鋼筋混凝土梁變形隨機性研究是基于給定荷載條件下的，而混凝土梁在服役期間，實際荷載是在正常使用荷載范圍內變化的.在有明顯差異的載荷條件下，不僅確定性的變形有較大的差異，同時其變形的隨機特性也可能不同.因此，本文擬在以往研究的基礎上，開展鋼筋混凝土梁加載全過程變形的隨機分析.以探求正常使用極限狀態內鋼筋混凝土梁變形的隨機特性變化規律.

相比于其他材料，鋼筋混凝土有其自身的特點.在正常使用荷載的范圍內，普通鋼筋混凝土結構通常處于開裂狀態.混凝土截面開裂將引起截面剛度突變，勢必影響其結構行為.因此，正常使用荷載下的鋼筋混凝土結構變形隨機分析必須考慮開裂引起的非線性效應.本文采用基于退化梁理論的鋼筋混凝土非線性有限元方法，利用蒙特卡洛抽樣技術，建立了鋼筋混凝土梁的開裂非線性變形的隨機分析模型.

1 鋼筋混凝土結構非線性分析

本文采用鋼筋混凝土非線性有限元分析軟件CSBNLA進行鋼筋混凝土結構開裂非線性的變形預測.退化梁單元的推導采用弱化的平截面假設，不再假定截面垂直于變形后梁軸線，以此反映剪切變形.退化梁單元既可以分析淺梁，也可分析深梁［13］.

程序采用分塊積分技術，能有效地考慮混凝土開裂等非線性結構行為.鋼筋的應力-應變關系采用理想彈塑性模型，而混凝土材料特性采用一維的應力應變關系來描述［12-15］，如圖1所示.

圖1 混凝土的應力-應變關系Fig.1 Stress-strain relationship for concrete

受壓區混凝土應力-應變(σ-ε)關系描述為

式中:Ec為混凝土材料的初始彈性模量;

fc為混凝土單軸抗壓強度峰值.

在考慮拉伸剛化效應的前提下，受拉區的應力-應變關系為

2 隨機分析模型

本文擬采用Bresler經典試驗梁為分析對象.考慮的隨機源包括:混凝土的抗壓強度fc，混凝土的彈性模量Ec，混凝土的抗拉強度fr，拉伸剛化模型 β，鋼筋彈性模量 Es，屈服強度 fy，外觀尺寸 b、h0，施加荷載F.

表1給出了各隨機變量的隨機特性，其中fcm為抗壓強度均值，Esm為鋼筋彈性模量均值，fym為鋼筋屈服強度均值，bm為截面寬度均值，h0m為截面有效高度均值，Fm為施加荷載均值.

表1 隨機變量的隨機特性Tab.1 Statistical properties of random variables

本文采用蒙特卡洛抽樣的方法進行鋼筋混凝土梁受力全過程隨機分析，每次加載的非線性分析次數為10000次.由于蒙特卡洛法需進行大量的非線性計算，為提高計算效率，故采用并行算法在高級計算工作站上完成.

3 鋼筋混凝土梁變形隨機分析

3.1 模型介紹

1963年Bresler與Scordelis教授完成了一組鋼筋混凝土簡支梁加載試驗.這批試驗梁被認為是經典試驗梁，并被大量的鋼筋混凝土有限元分析模型作為校核依據［17-19］.

試驗梁為矩形斷面，尺寸及鋼筋位置如圖2所示.

圖2 試驗梁斷面尺寸Fig.2 Sizes of beam cross section

混凝土抗壓強度為22.6 MPa，抗拉強度為3.97 MPa;鋼筋的抗拉強度為555 MPa，極限強度為933 MPa，彈性模量為218 GPa.受拉鋼筋單根面積為645 mm2.

試驗梁為簡支梁，跨度為3.66 m.采用跨中單點加載，試驗結果表明極限承載力Fu為334 kN.本文擬分析正常使用荷載下梁體變形的隨機特性，故最大荷載取為216 kN.

3.2 加載過程梁體變形的隨機特性

圖3給出了跨中位置加載全過程荷載位移曲線的試驗值、隨機分析均值以及隨機分析的2.28%與 97.72%分位數值.由圖3可以看出，試驗值落在2.28% ～97.72%的概率區間內，且與隨機分析的均值曲線比較吻合，這也證明了本文隨機分析模型的正確性.

圖3 試驗梁跨中荷載位移曲線Fig.3 Load vs deflection at half span of test beam

考慮到鋼筋混凝土加載過程中概率分布形態在發生變化，故利用概率區間定義離散系數

式中:

Δu為跨中變形的97.72%分位值;

Δs為跨中變形的2.28%分位值;

Δmean為跨中變形均值.

當變形響應為正態分布時，離散系數λ退化為σ/Δmean，即傳統的變異系數.

圖4給出了加載過程中，跨中位移的離散系數變化規律，同時也給出了開裂荷載的概率密度曲線以及開裂荷載的均值 Fcr，mean、2.28% 分位數值Fcr，s與 97.72% 分位數值 Fcr，u.由圖 4 可以看出，在加載過程中，跨中位移的離散系數呈先增大后減小，最終趨于穩定的趨勢.而離散系數出現峰值的區間恰好與開裂荷載高概率區間吻合.

選擇A點(加載起點)、B點(開裂荷載均值)與C點(加載終點)繪制3個點對應荷載下跨中變形的概率密度曲線，如圖5所示.

圖4 跨中變形的離散系數與開裂荷載的概率密度曲線Fig.4 Coefficient of variability of deflection at half span and probability density of cracking load

圖5 跨中變形的概率密度曲線Fig.5 Probability density of deflection at half span

由圖5可以看出，在A點與C點，跨中撓度的概率密度曲線呈現單峰形態，類似正態分布，而在B點(開裂荷載均值)，跨中撓度的概率密度曲線呈現出典型的雙峰分布形態.當梁體所受荷載在開裂荷載的高概率區間內時，由于材料參數的隨機性，梁體的實際開裂荷載為隨機變量，故梁體截面開裂與不開裂的幾率相當.而混凝土截面開裂前后剛度差異較大，對應的梁體變形也有很大不同，梁體變形的概率密度曲線呈雙峰形態，變異性大.

3.3 參數分析

配筋率是鋼筋混凝土梁的重要性能指標，其不僅影響鋼筋混凝土梁的極限承載能力，也影響鋼筋混凝土梁開裂后的剛度，從而影響梁體的變形.

荷載加到216 kN前，不同配筋率梁體的跨中截面荷載與位移均值曲線如圖6所示.由圖中可以看出，不同配筋率下，開裂前的變形曲線基本一致，但開裂后由于配筋率不同，導致開裂程度的差異，荷載位移曲線差異很大.

圖6 不同配筋率下跨中撓度均值曲線Fig.6 Mean value of deflection at half span with different steel ratios reinforcement ratios

圖7所示為配筋率分別為0.75%(最小配筋率)、1.50%(試驗梁)與 2.00%(最大配筋率)時，跨中變形的離散系數隨荷載的變化關系曲線.

圖7 不同配筋率下跨中撓度變形的離散系數Fig.7 Coefficient of variability of deflection at half span in loading process with different reinforcement ratios

從圖7可以看出，不同配筋率的鋼筋混凝土梁跨中撓度離散系數峰值出現位置基本相同，但峰值大小有明顯差異，配筋率與峰值成反比例關系.隨著荷載的增大，不同配筋率的鋼筋混凝土梁跨中撓度的離散系數差異迅速減小，最終趨于一致.

由3.2節分析可知，離散系數增大是截面開裂的隨機性引起的，而離散系數出現峰值的位置對應著截面開裂荷載的高概率區間.不同配筋率的混凝土截面開裂荷載基本一致，故不同配筋率的鋼筋混凝土梁跨中撓度峰值位置也基本一致.在截面開裂的瞬間，受拉開裂混凝土原本承擔的荷載全部轉化到鋼筋承擔，鋼筋的應力與變形均迅速增大，配筋率越低，增大幅度越大.因此配筋率越低，跨中撓度離散系數峰值越大.

由表1中數據可以看出，構成鋼筋混凝土梁變形隨機性的各個不確定性因素中，混凝土材料的離散性遠大于鋼筋材料的離散性.隨著荷載的增大，混凝土逐漸退出工作，混凝土對結構變形的影響逐漸減小.故跨中撓度的變異性逐漸減小，最終趨于一致.

4 結論

本文對鋼筋混凝土試驗梁加載全過程的變形概率特性展開研究，結果表明:

(1)本文隨機分析模型計算的荷載位移曲線均值與經典試驗結果吻合較好，試驗點均落在本文給出的概率區間內，證明了本文分析模型的正確性.

(2)鋼筋混凝土梁在加載過程中，變形的變異性并非恒定不變的.當荷載位于開裂荷載高概率區間時，梁體變形的變異性迅速增大并達到峰值.隨著荷載的增大，梁體變形的變異性開始減小，最終保持不變.由于加載過程中位移變異性的變化，當計算混凝土結構正常使用極限狀態可靠度時，臨界狀態的可靠度指標可能不是加載過程中最低的可靠度指標.

(3)不同配筋率的鋼筋混凝土梁開裂后變形的均值有明顯差異.而變形的變異性主要出現在開裂荷載的高概率區間內.此時，配筋率越低，變異性越大.隨著荷載的增大，梁體變形的變異性反而趨于一致.

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