大道至簡回歸本真
——說說2015年浙江文科第20題

●曲文瑞 (平湖中學 浙江平湖 314200)

大道至簡回歸本真
——說說2015年浙江文科第20題

●曲文瑞 (平湖中學 浙江平湖 314200)

隨著2015年高考的落幕，6月12日浙江省平湖中學第2屆教師說題比賽正式拉開序幕.比賽之所以安排在高考結束之后進行，主要目的是選取當年的典型高考試題作為參賽題目，從而引導全校教師研究高考試題，通過對試題的探究、背景的挖掘，有效指導我們的課堂教學.此次比賽所選題目是2015年浙江卷文科壓軸題.比賽規則是:提前一天通知選手所選題目，要求選手從考點、學情、解法、拓展等方面進行說題，說題時間控制在10分鐘之內.

筆者有幸擔任此次說題比賽的評委之一，觀摩了此次比賽的全過程，領略了參賽者的風采，收獲很大.故將此次說題的內容加以整理，并作出自己的思考與反思，與廣大讀者分享.

例1設函數f(x)=x2+ax+b(其中a，b∈R).

2)已知函數f(x)在［－1，1］上存在零點，0≤b－2a≤1，求b的取值范圍.

(2015年浙江省數學高考文科試題第20題)

1 命題立意、考點分析

1)試題背景公平，條件簡潔明了，表達通俗易懂，有著“起點低、入口寬、多層次”等特色，作為文科壓軸題，有著很好的區分度和選拔功能.

2)考查的知識點:函數與方程、函數與不等式、函數的單調性與最值、分段函數、函數的零點、線性規劃等基礎知識.

3)考查的數學思想及能力:分類討論、化歸與轉化、數形結合、消元、整體代換等.

2 學情分析

第1)小題是二次函數在閉區間上的最小值問題，是二次函數中的基本問題，也是函數中的典型的“動軸定區間問題”，對筆者所任教學校的學生來說解決起來應該沒問題.

第2)小題是二次函數在閉區間上的零點問題，敘述簡潔，表達清楚，不落俗套，在常規的零點問題上又增加了一點味道，條件0≤b－2a≤1給本題增添了無窮的想象空間.看似常規的零點問題，切入口并不唯一，如何轉化與切入非常重要，目標是求參數的取值范圍，對學生來說入手不難，但不管選擇哪種解法，要算出正確答案并不容易.在解決問題的過程中不僅要求學生能夠準確地掌握函數零點的定義，重點是能將“函數零點”、“方程的根”、“圖像與坐標軸交點”三者之間熟練轉化.若用線性規劃知識來處理，對學生的作圖、識圖能力要求較高，若用方程的根來處理，思維要求較高，作為文科卷壓軸題確實有一定的難度，本文主要針對第2)小題進行探究.

3 解法探究

策略1函數視角——從函數圖像入手

解法1按零點個數分類，可轉化為規劃問題.

因為函數f(x)在［－1，1］上存在零點，即函數圖像與x軸有交點，即二次函數與x軸有1個或2個交點，從而

圖1

點評此法學生入手容易，因為二次函數圖像學生比較熟悉，結合根的分布，想法比較自然，列出式子后畫出可行域，鎖定參數范圍再求解，但對作圖要求較高.考場上學生未必能夠準確畫出可行域，未必能發現2條直線與拋物線相切，當然沒有發現相切不一定影響運算結果.

例2已知x2－|ax－b|=1(其中a＞0)，在(0，2)有3個不同的零點，求a+b的取值范圍.

解法2從存在零點入手，討論對稱軸的位置.

因為函數f(x)在［－1，1］上存在零點，則Δ= a2－4b≥0.又0≤b－2a≤1，則a≥8或a≤0.

點評此法抓住二次函數存在零點則必須滿足判別式大于等于0，再結合已知條件0≤b－2a≤1，將字母a的范圍縮小，從而將對稱軸的范圍縮小，以減少討論的情形，簡化計算過程，提高計算的準確性.

解法3化曲為直，轉化問2個函數圖像交點問題.

因為函數f(x)在［－1，1］上存在零點?x2+ ax+b=0在［－1，1］上有解?ax+b=－x2在［－1，1］上有解.下面只要研究g(x)=ax+b與h(x)=－x2的圖像.

當直線 g(x)=ax+b過點 A(－2，1)和D(－1，－1)時，b=3;

當直線 g(x)=ax+b過點 A(－2，1)且與h(x)=－x2相切時，可求出.

點評此法主要通過等價變形，利用數形結合思想，轉化為2個函數交點問題處理，通過畫圖可以更直觀地觀察到所求字母的變化情況，過程簡潔，更好地考查了學生的轉化能力.當然也可以變形為b=－x2－ax來處理，即轉化為g(x)=－x2－ax，x∈［－1，1］上的值域問題.

策略2方程視角——從方程的根入手

因為函數f(x)在［－1，1］上存在零點，即方程f(x)=0在［－1，1］上有根.

解法4利用韋達定理，整體代換.

點評此法主要是把函數的零點轉化為方程的根.由f(x)=0得x2+ax+b=0，求一元二次方程的根自然聯想到韋達定理，然后發現:已知b－2a=x1x2+2(x1+x2)，求解目標b=x1x2，因此考慮到整體代換，根據x1∈［－1，1］，把b用x1表示，進而轉化為型函數的最值問題.這里的難點是韋達定理的逆用、不等式的性質以及分式型函數的值域問題，對文科生來說思維要求較高，即使能夠把b用x1表示，也未必能夠求出轉化后的函數的最值.

解法5利用韋達定理，消元轉化.

點評此法主要是利用韋達定理轉化到0≤x1x2+2(x1+x2)≤1，再根據求解目標參數 b= x1x2，因此考慮消元，把x2用代換，從而轉化為型函數的最值問題求解.這里轉化后的函數模型學生比較熟悉，相比較解法4中的函數模型更容易求解.

解法6利用二次函數零點式轉化.

設f(x)=x2+ax+b=(x－x1)(x－x2)(其中0≤x1≤1).又0≤b－2a≤1，得

由f(x)=(x－x1)(x－x2)，得

由式(2)和式(3)可得

下同解法4和解法5.

例3已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c，且0＜f(－1)=f(－2)=f(－3)≤3，則 ( )

A.c≤3 B.3＜c≤6

C.6＜c≤9 D.c＞9

(2014年浙江省數學高考理科試題第7題)

解令f(－1)=f(－2)=f(－3)=m(其中0＜m≤3)，設

因為0＜m≤3，所以c=6+m∈(6，9］.故選C.

解法7利用求根公式找出a，b的關系.

由已知得f(x)=0在［－1，1］上有解，設x1，x2是x2+ax+b=0的2個根，則

分類討論可得以下4種情況:

接下來找出可行域，利用線性規劃即可求解.

點評此法雖然容易想到，也貼近學生的最近發展區，但是對無理不等式的處理確是學生的弱項，要想等價去掉根式，要對根號2邊的正負進行討論，估計很少有學生有勇氣用此法算下去.

4 背景溯源，回歸本真

函數是高中數學的靈魂，而二次函數可以說是靈魂之根.二次函數零點問題是高考的熱點之一，也是學生學習的難點之一.通過高中3年的學習，高中學生已經積累了解決二次函數問題的經驗和智慧.面對此題，學生感覺很熟悉，但是要做下去又需要靈活的數學思維、豐富的函數視角和方程觀念.我們都知道“函數的零點”也是“數形結合思想”與“函數與方程思想”結合的一個典范.對函數零點問題我們有2種表征形式可以選擇，那就是“數”與“形”.從代數角度入手，即轉化為方程的根的問題，通過代數運算求得.從幾何角度入手，即利用數形結合思想轉化為圖像交點問題.本題就是函數零點問題的一個最好的典范，命題者緊扣教材，抓住問題本質進行考查，把“形”對“數”的表征，“數”對“形”的刻畫考查得淋漓盡致，盡善盡美.

人教A版教材必修1第87頁明確指出:方程f(x)=0有實數根?函數y=f(x)與x軸有交點?函數y=f(x)有零點.本題實質是在考查對函數零點概念的理解，并融各種思想解法于一體，這也是處理函數零點問題2種最基本的想法.本題緊扣教材命題，無論第1)小題中的最值問題的處理，還是第2)小題中的零點問題的轉化以及所運用的線性規劃思想都是源于教材，根植于教材.

5 教學感悟與反思

2015年浙江文、理科卷的函數題無疑是將二次函數這一經典的函數模型推向歷史的巔峰，將函數最本質的東西考查得淋漓盡致，完美至極!我們不得不感嘆二次函數的神奇與無窮的魅力，不得不折服命題者的智慧，能將這一模型刻畫得如此簡潔，如此細膩.通過對這道高考試題多角度、深層次的研究，使筆者認識到:在平時的教學過程中要注意以下3個方面:

1)注重通性通法的應用:培養學生養成良好的學習習慣，經常對所學的知識和題型進行總結歸納，尋找規律和突破口.

2)引導學生多解法、多視角思考問題和發現問題，通過對典型題目進行“一題多解、一題多變、多題同解”的訓練，幫助學生建構和完善知識網絡，培養學生良好的思維品質.

3)立足教材，透視問題的本質，充分善于挖掘高考題的背景，是每個教師都要探究的問題.2015年的高考試題給了我們一個很好的啟示，那就是“題海戰術”已無用武之地，題海不是解決問題的最好解法.而且盲目追求解法有多少種是遠遠不夠的，更多的要思考這些解法的共性、本質，題目是千變萬化的，但題目的根是不變的.真正理解數學的本質，洞察數學問題的核心，抓住“數學的靈魂”才是我們所要追求的最高境界.