2015年高考安徽卷第18題證法探究及拓展

●梁昌金 (壽縣第一中學 安徽壽縣 232200)

2015年高考安徽卷第18題證法探究及拓展

●梁昌金 (壽縣第一中學 安徽壽縣 232200)

縱觀近幾年安徽省數學高考理科數列題，基本都是以“函數、數列不等式”為載體來考查學生對放縮法、數學歸納法等方法的掌握.然而這類試題的難度往往很大，學生不易掌握，甚至無從下手.現通過對2015年安徽省數學高考理科第18題第2)小題的證法探究，談談這類數列型不等式證明的常用方法.

1 真題展示

例1設n∈N*，xn是曲線y=x2n+2+1在點(1，2)處的切線與x軸交點的橫坐標.

1)求數列{xn}的通項公式;

(2015年安徽省數學高考理科試題第18題)

2 背景探源

試題第2)小題研究的是乘積式數列不等式的證明問題，可看作是下列高考題的延續和創新.

例2等比數列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的n∈N*，點(n，Sn)均在函數y=bx+r(其中b＞0且b≠1，b，r均為常數)的圖像上.

1)求r的值;

2)當b=2時，記bn=2(log2an+1)，n∈N*，證明:對任意的n∈N*，不等式成立.

(2009年山東省數學高考理科試題第20題)

例3已知曲線Cn:x2－2nx+y2=0(其中n=1，2，…)，從點P(－1，0)向曲線Cn引斜率為kn(其中kn＞0)的切線ln，切點為Pn(xn，yn).

1)求數列{xn}與{yn}的通項公式;

2)證明:x1·x3·x5·…·x2n－1＜.

(2009年廣東省數學高考理科試題第21題)

3 證法探究

思路1數學歸納法

所證不等式與自然數n有關，在無其他思路的情況下，首選當然是數學歸納法.

評注數學歸納法是一種重要的數學方法，其中第2步假設和遞推是關鍵，特別是當n=k+1的證明較困難時，可依據待證目標作差或作商證明之.

思路2放縮法

放縮法本質上是利用不等式的傳遞性，把要證明的不等式加強為一個易證的不等式.放縮是一種重要的變形手段，難點在于目標不明確，尺度不好把握，技巧性太強.這樣就顯得放縮法很神秘，實質上，這類問題可以通過假設目標、建立遞推關系，從而將放縮目標直接求出的方式處理.

評注這種假設目標、建立遞推關系，求出放縮目標的方法，消除了放縮法的神秘感，增強了考生解決問題的預見性.

思路3對偶法

所謂對偶法就是構造一個與原式相似的式子，以實現消元的目標，從而使不等式得以證明.

評注對偶法的關鍵是構造式子，達到消元的目的.

思路4構造函數，利用單調性求最值

由于數列是一種特殊的函數，因此數列不等式的證明問題，可以用函數的觀點去觀察、分析和討論.

思路5利用基本不等式

4 結論拓展

拓展2數列{an}是等差數列，首項a1＞1，公差d＞1，且a1，d，k∈N*，則

易知數列{kan}是公差為kd的等差數列，由拓展1可得

故結論成立.

拓展3數列{an}是等差數列，首項a1＞1，公差d＞1，且a1，d，k，m∈N*，m|kd，則

仿拓展1和拓展2可證，此處從略.

以上的拓展均要求數列{an}是等差數列，若{an}是等比數列，結論又如何呢?下面先舉一個特例.

拓展5數列{an}是等比數列，且an∈(0，1)，則

利用數學歸納法易證，此處略.