透析考題信息 提升解題驅動力
——賞析2015年湖北卷第21題

●岳 峻 (太和中學 安徽太和 236600)

透析考題信息 提升解題驅動力
——賞析2015年湖北卷第21題

●岳 峻 (太和中學 安徽太和 236600)

2015年數學高考湖北卷試題背景新穎，創新于數學史料加工，順應于高考改革走向，融數學本質、數學素養和數學文化于一體，內涵豐富，思想深刻，給人耳目一新的感覺.筆者結合2015年湖北卷第21題，探討如何透析考題信息，提升解題驅動力.

1 考題再現

題目一種作圖工具如圖1所示，O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且DN=ON=1，MN=3.

當栓子D在滑槽AB內作往復運動時，帶動N繞O轉動一周(D不動時，N也不動)，M處的筆尖畫出的曲線記為C.以O為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系.

圖1

圖2

1)求曲線C的方程.

2)設動直線l與2條定直線l1:x－2y=0和l2:x+2y=0分別交于點P，Q.若直線l總與曲線C有且只有1個公共點，試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在，求出該最小值;若不存在，說明理由.

2 考題條件的思維分析

首先，我們要根據作圖工具實物的形象，抽象地建立一個數學模型.審題發現，本題的條件有:①DN=ON;②ON=1;③MN=3.隱含信息為:O是定點，M，D，N均為動點，且點M，D，N共線.

條件①DN=ON，揭示△ODN是等腰三角形，而等腰三角形具有“三線合一”的性質;條件②ON=1，O是定點，揭示了動點N到定點O的距離為定值1，即動點N的軌跡是一個圓，其方程為x2+y2=1;條件③MN=3，結合DN=ON=1，得知點D是線段MN的接近點N的三等分點.綜合上述對已知信息的思維分析可知，動點N的軌跡是一個圓，點N的運動主導著點D的運動，自然決定著點M的變化.因此，欲求點M的軌跡曲線C的方程，勢必運用幾何法或者相關點轉移法.

3 第1)小題的求解思路

我們能否判斷出曲線C的類型呢?試想，當點N在x軸的負半軸上時，顯然點M的坐標是(－4，0);當點N在x軸的正半軸上時，點M的坐標是(4，0);當點N在y軸的負半軸上時，點M的坐標是(2，0);當點N在x軸的正半軸上時，點M的坐標是(－2，0).據此可推測曲線C的軌跡是橢圓，且a=4，b=2，曲線C的方程為.這樣一來，解題目標自然變成了圍繞猜測結果構建一個嚴謹又無失分點的解題過程.運用數學問題中的普遍與特殊的關系，通過對特殊情況的研究來判斷或者猜測一般規律，這正是一般化與特殊化思想的應用.

解法2設點 D(t，0)，(其中|t|≤2)，M(x，y)，依題意，，且.

圖3

過點N，M分別作x軸的垂線，垂足分別為T，H.由平面幾何知識，可得

本題的作圖工具與橢圓第一定義的作圖工具不同，是橢圓的又一種尺規作圖.圓錐曲線的尺規作圖是值得我們深入研究的經久不衰的課題.

4 第2)小題的求解思路

運用極限的思想，試想:當橢圓的切線趨近于平行已知的任意一條定直線時，三角形的面積自然趨向于無窮大，因此△OPQ的面積不可能有最大值.又

而sin∠POQ是定值，從而△OPQ的面積取決于|OP|·|OQ|.結合橢圓的對稱性自然猜想到當|OP|=|OQ|時，S△OPQ取得最小值，此時直線l與坐標軸平行，最小值是ab.

圖4

解法11)當直線l的斜率不存在時，直線l為x= 4或x=－4，都有

消去y，可得 (4k2+1)x2+8mkx+4m2－16=0.

因為直線l總與橢圓C有且只有1個公共點，所以

綜合1)，2)可知，當直線l與橢圓C在2個頂點處相切時，△OPQ的面積取得最小值8.

評注若直線l與曲線C:f(x，y)=0相切于點(x0，y0)，則直線l也可以應用隱函數的導數求解.如C:邊求導得，即，則點(x0，y0)處的切線方程為

解法2設直線l與橢圓C相切于點(x0，y0)，則直線l可表示為

評注若求出△ABC的頂點坐標A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，也可以應用行列式求解△ABC的面積，即.本題中△OPQ的面積

5 第2)小題的拓展

反思1本題的結論是否具有一般性呢?

引申1若直線l與橢圓C:相切于點(x0，y0)，動直線l與2條定直線l1:bx－ay=0和 l2:bx+ay=0分別交于點 P，Q，則，其最小值是ab.

反思2本題的結論是否可以類比到雙曲線呢?

引申2若直線l與雙曲線C:相切于點(x0，y0)，動直線l與2條定直線l1:bx－ay=0和l2:bx+ay=0分別交于點P，Q，則S△OPQ是定值，且該定值為ab.

問題解決的策略是多種多樣的，既取決于對問題題設信息的理解與認識，又取決于解題主體的知識積累與經驗.解題的機智往往就在于你是否真正透徹地熟悉信息、理解信息、運用信息，能否對信息進行捕捉和儲備知識及方法進行有序組合，能否抓住問題的數學本質，而對問題本質的發現還在于我們對問題信息的多角度審視和挖掘.

為此，在平時的復習教學中，教師要有意識地引導學生注重審題，學會分析，善于捕捉題設條件的信息加以透析，關注解題后的對問題本質的挖掘和透視，提升解題的驅動力.