“通法”與“特技”齊飛
——2015年浙江理科第14題的解法探究

●盛耀建 (湖州中學 浙江湖州 313000)

“通法”與“特技”齊飛
——2015年浙江理科第14題的解法探究

●盛耀建 (湖州中學 浙江湖州 313000)

2015年的高考已經圓滿落下帷幕，后續工作也在有條不紊地進行中，但對考題的品味還遠未結束，其中浙江理科第14題給筆者印象最為深刻.細細研究得到多種解法，且稱之“通法”與“特技”齊飛，望對今后的教學起到一定的指導作用.

1 考題再現

題目若實數x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+ y－2|+|6－x－3y|的最小值是______.

(2015年浙江省數學高考理科試題第14題)

分析1)由實數x，y滿足x2+y2≤1可知，點(x，y)在圓餅區域x2+y2≤1上運動;2)求|2x+ y－2|+|6－x－3y|的最小值，該式中含有2個絕對值，意味著該題有一定的難度，同時也提供了解題的3個思路:要么去掉絕對值，要么不等式放縮，要么找出其幾何意義.

2 解法探究

2.1 去絕對值

當問題中出現絕對值時，題目往往不會簡單，而我們常用的一種思路就是去絕對值，去絕對值的方法很多，比如平方、分類討論、可行域等等.

解法1(線性規劃)實數x，y滿足x2+y2≤1，由圖1知6－x－3y＞0.

圖1

點評上述解法涉及線性規劃及直線和圓位置關系等知識，結合分類討論的思想方法巧妙地去掉了絕對值，并從圖像上進行分析快速得到了最優解，從而求出了最小值，在方法上具有一定的推廣可能，屬于“通法”.

鏈接若實數x，y滿足x2+y2≤5，則3|x+ y|+|4y+9|+|7y－3x－18|的最大值是 ( )

(2015年浙江省暨陽聯誼學校高三聯考數學理科試題第8題)

分析因為實數x，y滿足 x2+y2≤5，所以4y+9＞0，且7y－3x－18＜0.

點評由條件實數x，y滿足x2+y2≤1，想到三角換元的思想，同解法1結合圖像進行分類討論，從三角函數知識角度求得最小值.

2.2 不等式放縮

題中求|2x+y－2|+|6－x－3y|的最小值，可聯系絕對值三角不等式進行放縮，等號成立時即可求出最小值.

解法3|2x+y－2|+|6－x－3y|≥|x－2y+4|=|x－2y+1+3|，易知當且僅當2x+y－2與6－x－3y一正一為0或同為正時等號成立.由圖2知此時x－2y+1≥0，從而|x－2y+1+3|≥3，即原式的最小值為3，當且僅當時等號成立.

圖2

點評解法3采用了絕對值三角不等式進行放縮，借助可行域尋找等號成立的條件，從而找出最小值，針對此題十分有效.

解法4|2x+y－2|+|6－x－3y|≥|3x+4y－8|，當且僅當2x+y－2與6－x－3y一正一為0或異號時等號成立.由柯西不等式得

點評該解法采用了絕對值三角不等式的另外一個形式，利用柯西不等式進行二次放縮，借助柯西不等式等號成立的條件及x2+y2=1找出等號成立時x與y的值，從而找出最小值，方法簡易，堪稱一絕.

2.3 找幾何意義

筆者看到問題中的|2x+y－2|+|6－x－3y|時，聯想到了點到直線的距離公式:

圖3

點評解法5技巧性很強，先將原式化成點到直線的距離形式，利用圖像及借助直線l1與l2夾角大小的特殊性，從幾何意義出發巧妙求出最小值.解法5雖可適當推廣(如下面的變式)，但還是有一定的局限性，對系數要求較高，絕對值的個數僅限于1個或2個，屬于“特技”.

變式若實數x，y滿足x2+y2≤1，則的最小值是______.

分析同解法5，

從上易知，可根據解法5中2條直線的夾角大小設計一定的系數即可改編出新的試題.

3 探究體會

1)高考作為選拔性的考試，在試題設計上表現為重點考查“通性通法”，并適當加入“技巧元素”.因此在平時的教學過程中，教師應注重“通法”的教學，強化學生的計算能力，適當補充對解法技巧的滲透.

2)本題的解法雖然多種多樣，但它們并不一定適合每一位學生，這就要求教師在教學過程中針對不同的授課對象選用不同的解法進行講解，如:在普通班教學時應重點介紹解法1，并根據需要適當進行解法3與解法5的講解;而對實驗班學生則在講解解法1、解法3與解法5的基礎上還可適當注入解法2與解法4的解題思想.