數形結合彰雙翼 探源溯流顯本質
——以2015年浙江理科第15題為例

●蔡劍鋒 (余杭第二高級中學 浙江杭州 311100) ●陳朝陽 (余杭區教育局教研室 浙江杭州 311100)

數形結合彰雙翼 探源溯流顯本質
——以2015年浙江理科第15題為例

●蔡劍鋒 (余杭第二高級中學 浙江杭州 311100) ●陳朝陽 (余杭區教育局教研室 浙江杭州 311100)

2015年高考落下帷幕，研究浙江省的數學高考試題，不乏許多立意高、角度寬、視點多且注重開發考查學生數學思想方法的題目，同時考查了學生的理性思維能力，對數學本質的理解能力，以及數學知識之間的相互聯系及應用能力.其中理科第15題——向量填空題在這幾個方面表現得更是淋漓盡致.

向量以其兼具“代數”與“幾何”的雙重形態，成為實施數形結合的有效工具，備受高考命題者的親睞，浙江省數學高考的向量題往往是試卷的一大亮點，在考查上逐步加深與靈活，演繹得更加唯美.2015年這道向量考題與前幾年高考試題風格背景有相似之處，同時解題思路也有關聯性，是前幾年試題的沿襲與承接，更有創新.下面筆者就該題的解題過程談談自己的體會和感受.

1 原題回顧析立意

例1已知e1，e2是空間單位向量，，若空間向量滿足b·e1=2，，且對于任意x，y∈R，|b－(xe1+ye2)|≥|b－(x0e1+ y0e2)|=1(其中x0，y0∈R)，則 x0= ______，y0= ______，|b|=______.

(2015年浙江省數學高考理科試題第15題)

該題通過空間向量的平臺，利用不等關系，體現最小值的本質.問題的結構特點給考生多角度的思考空間，同時豐富了填空題的形式，出現一題三空且相互制約.

2 解法分析求靈活

2.1 基底法

令m=xe1+ye2，則

解法1(轉化為二次方程在R上恒成立)

即關于x的不等式

恒成立，從而

即對任意實數y都有

成立，因此

又對于任意x，y∈R，|b－(xe1+ye2)|≥|b－(x0e1+y0e2)|=1(其中x0，y0∈R)，于是

解法2(配方)

解法3(不等式處理，換元成二次函數)

評析模運算的基本處理方法是對向量進行平方，構造相應的目標函數，再來求解函數的最值.此解法的難點是在空間向量的背景下平方得到了一個求二元變量的最值問題.上述3種解法對學生的思維要求較高，學生不容易把握.

2.2 坐標法

解法4如圖1建立空間直角坐標系，其中e1=(1，0，0)，.設b=(m，n，t)，則

圖1

又|b－(xe1+ye2)|≥|b－(x0e1+y0e2)|=1(其中x0，y0∈R)，即

對任意的x0，y0∈R恒成立，從而當

評析坐標法的本質與解法1的配方處理是一致的，其直觀之處在于通過坐標形式的模運算直接得到

與解法1相比更加直觀，學生容易理解.同時我們發現這時b－(e1+2e2)=(0，0，t)與z軸平行，即與e1，e2確定的平面垂直，隱含了幾何特點，預示著本題可以用幾何法解決，是數形結合的一種統一.

2.3 幾何法

分析數形結合，整體把握，這要求學生理解|b－(xe1+ye2)|表示的是點B到向量e1·e2確定的平面上任意一點的距離，再理解最小值的含義就非常清楚了.考生在這里若能嗅到幾何的芬芳，看透空間向量問題，則“b·e1=2，”就直接轉化為同一平面內的.

3 真題研究探源頭

浙江省自主命題以來此類型的題目不斷出現，其實它在不斷完善，把試題演繹得更加完美.考生若不能識別它的真實面目，在考試時就很難越過向量題這道坎.

此類題最早出現在2005年浙江省數學高考理科第10題(選擇壓軸題).

例2已知向量a≠e，|e|=1，對任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則 ( )

A.a⊥e B.a⊥(a－e)

C.e⊥(a－e) D.(a+e)⊥(a－e)

分析此題中向量是共面的，變量也只有一個t，因此模長平方得到的函數也是相對好處理的，這里主要是看|a－te|≥|a－e|的幾何意義.

圖3

4 立足教材揭本質

人教A版數學必修2第106頁思考:已知點P0(x0，y0)，直線l:Ax+By+C=0，如何求點P0到直線l的距離?

此思考題先讓學生明確“點到直線的距離”的概念:從幾何角度看是指從點P0到直線l的垂線段的長度;從代數的角度看點P0與直線l上任一點的2點間距離的最小值(具體解法略).

人教社A版數學選修2-1第87頁:如圖4，l為經過已知點A且平行于已知非零向量a的直線，對空間任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使，其中a叫做直線l的方向向量.在l上取，則.這2個式子都稱為空間直線的向量表示式，即點P在直線AB上，當取最小值時，，即求得點P到直線AB的距離.

圖4

圖5

這正是上述3個高考真題解法的由來.

人教社A版數學選修2-1第87頁:如果2個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使 p= xa+yb.

如圖5，空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數對(x，y)，使;或對空間任意一點O，.這2個式子都稱為空間平面ABC的向量表示式.

在教學的過程中，我們往往注重共面情況的分析和講解，注意到表示的正是空間一點O與平面ABC內任意一點P確定的向量，的最小值即為空間一點O到平面ABC的距離.

這正是幾何解法的由來.

4 意識引領助教學

通過對這些向量高考題的分析知道:教師在平時的向量復習教學中應更加注重以下3個方面:

1)強化基底意識.基底法是解決向量問題的一個基本方法，是平面向量和空間向量基本定義的體現，在向量模長問題的處理上，a2=|a|2是一個重要的等式，它能實現向量的運算向代數運算的轉化，是向量問題代數化的一個重要體現.

2)強化坐標意識.由于向量兼具著代數和幾何的雙重特征，很多問題我們可以通過建立平面直角坐標系，構建代數與幾何之間的聯系，通過坐標形式的代數語言翻譯題目的條件，借助代數運算解決問題，著重體現函數和方程的思想.

3)強化幾何意識.在向量運算過程中，樹立幾何特點的分析，直接構造圖形，以形助數，使解題更加直觀.

向量是溝通代數和幾何的中間橋梁，將向量引入中學教學的一個重要原因是它既具有代數的形式又具有幾何的特點，是刻畫幾何模型的一個重要工具.通過幾何法可以輕松地解決相應問題，減少繁瑣的運算，同時也引導一線教師在向量教學中要充分重視向量的幾何特點，在平時的教學中逐步滲透給學生.