方程與函數(shù)的巧妙應用

葉超毅

摘 要：函數(shù)思想與方程思想二者之間的相互轉(zhuǎn)換及在轉(zhuǎn)換時需要注意的一些問題，用典型的例題闡明用函數(shù)與方程思想方法能夠輕易解決數(shù)學學科中難以突破的部分，并結(jié)合中學數(shù)學教學，提出教師應該在教學中有意培養(yǎng)學生的函數(shù)與方程思想，并且給出了具體可行性的建議。

關鍵詞：函數(shù)思想；方程思想；轉(zhuǎn)化思想

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）09-107-02

一、直線與拋物線

當直線 與拋物線 相交時，把它們組成一個方程組

析：這道題初看是在解方程根的問題，但難以著手。若從代數(shù)方面來解，則比較難以解決，若利用“數(shù)形結(jié)合”來解答較容易，其內(nèi)涵卻是利用函數(shù)圖像解決實數(shù)的比較大小問題。數(shù)形結(jié)合思想是利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關系或利用數(shù)量關系研究幾何圖形的性質(zhì)，使數(shù)量關系與幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，使問題得以解決的一種數(shù)學思想。數(shù)形結(jié)合思想方法的應用，可幫助我們理解題意，分清已知量、未知量，理順題中的邏輯關系。

二、直線與雙曲線

析：這道題若是化為整式方程則為 ，但學生對這道題應當更為棘手，因為三次方程是高次方程，在初中階段是沒有教如何解的，所以應當轉(zhuǎn)化為現(xiàn)有的知識，把方程的解看作是函數(shù)圖像交點的橫坐標。建立平面直角坐標系，把代數(shù)問題與幾何問題互相轉(zhuǎn)化，

轉(zhuǎn)化思想是一種最基本的數(shù)學思想，基本思路是化未知為已知，把復雜的問題簡單化，把生疏的問題熟悉化，把非常規(guī)問題化為常規(guī)問題，實現(xiàn)不同的數(shù)學問題間的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了把不容易解決的問題化為容易解決的問題的思想。

因此，在解有關兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)、

或特殊方程的解的個數(shù)時。1、如果能畫出圖像，可以適當借助圖像；2、如果圖像不能準確畫出，則需要利用兩個方程組成的方程組的解的個數(shù)來

判定；3、兩個曲線的交點個數(shù)，不能單純靠消元后獲得的一元二次方程的根的個數(shù)來判斷，即只根據(jù)△來判斷，比如你消的是y，那么得到關于x的一元二次方程，先判斷這個方程的根的個數(shù)，并且要判斷這個根的范圍，因為理論上即便這個方程有解，可能代入拋物線方程后，y有可能無解，還是不能產(chǎn)生交點，也就是說，一定要到方程組的解的個數(shù)才能判斷兩個曲線有幾個解；4、正是因為兩個曲線的交點如果不是通過幾何作圖就能判斷出而是需要通過方程組討論得出的話，太過復雜，所在現(xiàn)行教材對這方面要求很低，作為一個初中生，只需要了解一下思想，能依據(jù)圖像作出判斷基本就可以了。endprint