近世代數課程教學改革

倪嵐　蔡吉花

摘 要 近世代數課程是高校數學專業重要的基礎課程，在教學中起承上啟下作用。本文從幾個方面探討了近世代數課程教學改革的必要性，并淺談了自己的一些體會。

關鍵詞 近世代數 教學改革 數學思想方法 知識背景

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.06.028

Teaching Reform of Modern Algebra Curriculum

NI Lan， CAI Jihua

（College of Science， Heilongjiang Institute of Science and Technology， Harbin， Heilongjiang 150027）

Abstract Modern Algebra Curriculum is one basis course of the mathematics major， playing a connecting role in Teaching. This paper discusses the necessity of teaching reform of modern algebra Curriculum by some aspects， and talks some experiences.

Key words Modern Algebra; teaching reform; mathematical thought and method; background knowledge

1 課程的重要意義

近世代數課程作為數學的一個重要分支是高等代數和解析幾何的繼續和提高，是數學專業的學生學習代數數論、代數幾何、代數拓撲等基礎數學課程的一門基礎專業課程，同時也是計算代數、編碼等應用數學課程所必需的一門基礎課程。主要介紹的基本概念和基本理論是群、環、域，這些都有助于提高學生的邏輯推理能力和抽象思維能力。同時蘊含的劃分、等價、同態、同構、群、環、域等數學思想方法是研究和觀察自然及社會時采用的最重要的數學方法之一。因此，這門課程對培養學生數學的抽象思維推理能力和提高學生的數學素養都有著很重要的積極作用。

2 課程教學中存在的問題

近世代數是一門抽象性很強的學科，是數學專業教學的一個難點，同學們普遍感覺學習這門課程很困難，這其中有多方面的原因。下面我們從數學思想方法、概念的理解和掌握，應用幾方面談談近世代數課程教改的必要性。

（1）數學思想是指人們對數學理論和內容的本質認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提練上升的數學觀點，數學思想的具體化形式是數學方法，其實兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看待問題。在教學的整體過程中，作為教師，我們在講授基礎知識和基本技能時，還應慢慢滲透相關的數學思想方法，加強對學生數學思想方法的培養活動。數學教材中的每一章節，體現了知識和思維的有機結合。由于在認知能力及思維發展有所限制，教師從事知識的單方面傳授，學生注重數學知識的學習，都忽略了聯結這些知識的觀點和思想的方法。

（2）概念的背景介紹匱乏，概念抽象難以理解，僅僅背下來一些命題、性質和定理，并不意味著真正理解和掌握了知識。因為近世代數的理論系統是很多數學家根據實際中不同的集合和模型抽象創造出來的，所以系統內許多概念都是根據直接或間接刻畫新的幾何量和物理量的需要而產生的，但教材中并沒有提到這些來源和背景。例如，天才數學家Galois通過深入研究一個方程能用根式求解所要滿足的必備條件，提出了“Galois域”、“Galois群”和“Galois理論”，而近世代數教學過程中對這一類背景沒有介紹。

（3）缺少概念歷史發展的介紹，近世代數的有些內容比較抽象，大多內容可以從各種具體對象中抽象出共性，從而使其具有廣泛的應用。學生會有疑問，近世代數是如何演化而來的？但是這些內容大都是課堂上很少講到的內容。

（4）缺少與數學相關課程的必備聯系，近世代數是研究各種抽象的公理化代數系統的數學學科，代數系統大致分成初等代數學、高等代數學和抽象代數學三大部分。19世紀上半葉以前，初等代數學得到了發展，主要是研究某一方程〔組〕是否有解，若有如何求出所有的根〔包括近似根〕，以及根有什么性質等問題，都是側重計算和分析能力的培養。高等代數學在初等代數的基礎上進一步擴充了研究對象，許多新的概念被引進，許多新的量被定義，如最基本的集合、向量和向量空間等等，抽象代數學則是初等代數學和高等代數學的后繼與提高。但是，很多學生都認為他們學的每門課程都是互相獨立的，彼此之間是沒有什么相關聯系的。

（5）學生缺少自主學習能力，我們的學生在上大學之前，都是被動地接受知識，都是為了應付考試而學習知識。顯然，在如今的社會形態下，被動接受知識的思想是要不得的。所以，在教學中我們要著重培養學生自主學習方面能力，同時也要著重培養學生發現問題和解決問題方面的能力。為學生在將來的工作和生活把握住機遇打下基礎。

（6）只注重理論，忽視應用，近世代數的核心是其抽象的理論和廣泛的應用，抽象的理論和廣泛的應用是相互扶持的，但是近世代數的應用在教材中卻不涉及。所以，學生會有疑問：近世代數有什么用處呢？

3 課程教學改革的幾點設想

根據以上的探討，同時結合近世代數課程的教學實際，提出以下幾點教改設想：

（1）在教學中，教師要習慣挖掘數學概念和定理中蘊含的數學思想，在解決問題和數學推理時，要有意識地利用數學方法，進而有效地提高解題效率，還可以有效地提高意識方法的構成，使學生的思維能力得到加強。例如抽象代數的重要概念之一是同構映射，它的數學思想是兩個代數系統之間有一個保持運算的雙射，若兩個代數系統同構，則它們將具有相同的代數性質。這種兩個群運算結構之間相同的規律性，對研究數學問題起重要作用。類似通過對整數環的分析引入環的定義，通過對商群概念的分析引入剩余類環的概念。所以在近世代數教學中注重滲透這些數學思想方法無疑非常重要。endprint

（2）通過典型例子理解概念，舉一反三達到效果。例如：群論里有一個問題是n階有限群的同構類型有多少個，圍繞這個問題可以引出很多抽象的概念，比如元素的階數，正規子群，商群的概念。

（3）注重概念的歷史發展，當前數學教學改革的基本思路就是滲透數學精神和數學文化在數學發展史的介紹中。通過介紹數學概念產生的來龍去脈，在很大程度上可以提高學生對概念的理解能力。所以，在近世代數教學過程中通過調動學生存在的各種數學知識，列舉多姿多彩的具體實例，從而揭示概念的本質特征，在具體和抽象之間架起一座座橋梁，讓學生從被動變主動地接受諸如群、環、域這樣的概念，促進學生學習知識的正遷移。

（4）注重概念的知識背景的引入，事實上，伽羅華運用群的思想解決了用根式求解代數方程的可能性，高斯研究二次型整數解討論高斯整數環的某些問題時，受費馬猜想問題的啟發，德國數學家庫默爾引入并研究了理想數的概念，這些知識背景的引入既能使學生了解概念的來源，也能使學生增加學習興趣。

（5）加強與數學相關課程的聯系，高等代數學中很多定義和定理經推廣可以是近世代數學中相關的定義和定理內容。所以在講授這些定義和定理時，要習慣讓學生先回憶以前在高等代數中學過的類似的結論，使學生有意識采用聯系的方法來接受這些定義和定理。

（6）培養學生發現問題和思考問題的能力，應注重加強學生自主學習能力。如要求學生對教學內容要習慣課前預習、課后復習和歸納總結。課前預習可以讓學生盡早對新教學內容有整體方面的認識，對新教學內容的重點和難點做到心中有數，從而提高課堂聽課效率。課后復習是為了讓學生能更好地鞏固學習內容，加強學生理解知識的能力，是學習過程中必不可缺的一環。及時的歸納總結有助于學生透徹理解所學知識。

（7）注重知識的應用，如組合群論在簽名體制中的應用、同余方程組、尺規作圖難題等。同時該學科在計算機科學、信息科學、近代物理與近代化學等方面也有廣泛的應用。因此，教師要習慣在講授課程內容時適當地引入一些近世代數的應用，一方面可使學生感受到理論的巨大應用價值，另一方面，也可以使學生感到學習該課程是有應用價值的，可以大大提高學生的學習積極性。

以上是對近世代數課程教學改革的一些設想，近世代數課程改革任務是連續不斷的，需要我們常常對課程系統自身的思想方法進行研究，對學生的特點進行研究，對數學知識的相關聯系進行研究等等。

基金項目：黑龍江省教育科學規劃課題（GBB1213013）

參考文獻

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