一條焦點弦 年年高考題
——由一道課本例題到高考題的再探討

曹鳳山 (余杭高級中學 浙江杭州 311100)

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一條焦點弦 年年高考題
——由一道課本例題到高考題的再探討

曹鳳山 (余杭高級中學 浙江杭州 311100)

筆者曾在拙文[1，2]中對課本一道例題(人教A版選修2-1第69頁例4)如何演變到高考題，以及該例題本身作了一些引申、推廣.從近2年的高考題可以看出，從該例題“生發”出的高考題依然源源不斷，且命題手段不斷翻新，對該例題的進一步挖掘也仍然很有意義.

例1 斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于點A,B，求線段AB的長.

圖1

由圖1可以看出，該例題涉及的直線上有不少重要的點，可謂一條名副其實的“珍珠鏈”，如焦點F，直線與拋物線2個交點A,B，與y軸的交點C，與準線的交點G以及弦AB的中點H等.從命題角度看，其中任意取2個點就有長度問題，3(或4)個點就有線段比值問題，結合原點等直線外的點就有面積(比)問題等.這些問題都涉及核心知識，命題手法多種多樣，解題通性通法突出.由于圓錐曲線的統一性，對于橢圓、雙曲線的相應問題也有很大的挖掘空間.

1 長度問題

首先給出大家熟知的結論：

結論1 如圖1，過拋物線y2=2px(其中p>0)的焦點F、傾斜角為θ的直線l交拋物線于點A,B，則

從結論1可以看出，拋物線的通徑為2p，是最短的焦點弦.

變式 當直線AB的斜率存在時，焦點弦

例1中，k=1(即θ=45°)，p=2,故|AB|=8.

高考類題

1.設F為拋物線C：y2=3x的焦點，過點F且傾斜角為30°的直線交C于點A，B，則|AB|=

( )

(2014年全國數學高考新課標卷文科試題)

2 線段比問題

2.1 焦點分焦點弦的情形

圖2

如圖2，設BF=a,由拋物線的定義知BB1=a，AA1=λa.在△ABC中，AC=|λ-1|a,AB=(λ+1)a,從而

結合結論1，知：

高考類題

2.設拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過點F且與C交于點A,B.若|AF|=3|BF|,則l的方程為

( )

A．y=x-1或y=-x+1

(2013年全國數學高考課標卷文科試題)

(這里p=2，λ=3,由結論2知，k2=3，故選C.)

(2012年重慶市數學高考理科試題)

4.已知F是拋物線C:y2=4x的焦點，過點F且斜率為1的直線交C于點A,B．設|FA|>|FB|，則|FA|∶|FB|=______．

(2008年全國數學高考理科試題)

(2010年重慶市數學高考理科試題)

圖3 圖4

2.3 拋物線上點分焦點與準線交點的情形

故

高考類題

圖5 圖6

( )

(2014年全國數學高考新課標卷試題)

3 以線段為直徑的圓問題

y2-2pty-p2=0,

從而

y1+y2=2pt,y1y2=-p2.

于是

圖7

高考類題

( )

(2014年全國數學高考大綱卷理科試題)

8．設拋物線C:y2=2px(其中p>0)的焦點為F,點M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(0,2),則C的方程為

( )

A．y2=4x或y2=8xB．y2=2x或y2=8xC．y2=4x或y2=16xD．y2=2x或y2=16x

(2013年全國數學高考新課標卷理科試題)

4 面積問題

根據結論1和結論2，在拋物線中的面積問題，易得以下結論：

結論7 過拋物線y2=2px(其中p>0)的焦點F、傾斜角為θ(斜率為k)的直線l交拋物線于點A,B，則

結論8 過拋物線y2=2px(其中p>0)的焦點F、傾斜角為θ(斜率為k)的直線l交拋物線于點A,B，則

高考類題

9.設F為拋物線C：y2=3x的焦點，過點F且傾斜角為30°的直線交C于點A，B，點O為坐標原點，則△OAB的面積為

( )

(2014年全國數學高考新課標卷試題)

10.過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于點A,B,點O是原點.若|AF|=3,則△AOB的面積為

( )

(2012年安徽省數學高考理科試題)

( )

(2013年全國數學高考課標卷文科試題)

12.在直角坐標系xOy中,直線l過拋物線y2=4x的焦點F,且與該拋物線相交于點A,B,其中點A在x軸上方.若直線l的傾斜角為60°,則△OAF的面積為______.

(2012年北京市數學高考理科試題)

[1] 曹鳳山.從課本例(習)題到高考題的若干命題途徑[J].中學教研(數學),2012(1):26-28.

[2] 曹鳳山.你能看出結果嗎？——以一道例題的探究為例[J].中學數學教學參考:上半月,2011(9):37-39.