例談數學競賽中的局部調整法

盧學謙 (泰安市第一中學 山東泰安 271000) ●盧 健 (萊城區羊里中學 山東萊蕪 271118)

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例談數學競賽中的局部調整法

盧學謙 (泰安市第一中學 山東泰安 271000) ●盧 健 (萊城區羊里中學 山東萊蕪 271118)

局部調整法也稱為逐步調整法，就是暫時固定問題中的一些可變因素，研究另一些可變量對求解問題的影響，取得局部成果后，再設法求得整個問題的結果.例如著名的算術-幾何平均值不等式的證明，2014年“北約”自主招生考試數學試題第10題以及2014年全國高中數學聯賽加試第4題都可用局部調整法.先來看一道經典競賽題：

1 趣味調整，進入境界

例1 已知銳角△ABC中，∠A>∠B>∠C.在△ABC的內部(包括邊界上)找一點P，使得點P到3條邊的距離之和最小.

分析 這是一道趣味競賽題.我們先考慮特殊情況，當點P在△ABC邊界上的什么位置時，點P到3條邊的距離之和最小，然后再對點P在△ABC的內部時進行研究.

解 1)先研究點P在△ABC的邊界上時的情況：

①若點P在邊BC上.如圖1，記△ABC的頂點A,B,C對應的邊分別是a,b,c，邊a,b,c上的高分別為ha,hb,hc，點P到邊c,b的距離分別為x,y，聯結PA.因為∠A>∠B>∠C,所以ha

因此hb≤x+y(當x=0時,取到等號),即點P在點B處時，點P到3條邊的距離之和最小.

②若點P在邊AC上，點P在點A處時，點P到3條邊的距離之和最小.

③若點P在邊AB上，點P在點A處時，點P到3條邊的距離之和最小.

綜合①，②，③，當點P在點A處時，點P到3條邊的距離之和最小.

圖1 圖2

2)再研究點P在△ABC內部時的情況:如圖2，過點P作BC的平行線交AB于點E，交AC于點F，固定x，由第1)小題知，

x+y+z>EG+EH.

讓x變化，得

EG+EH≥ha,

從而

x+y+z>ha.

綜合1)，2)知，當點P在點A處時，x+y+z最小.

注 本題先對點P在邊界上進行調整，獲得問題的局部解決.經過若干次這樣的局部調整，逐步逼近目標，最終得到問題的整體解決.

2 逐次調整，妙不可言

例2 已知x1,x2,…,xn∈R+,且x1x2…xn=1，求證：

(2014年“北約”自主招生考試數學試題第10題)

分析 本題解法很多，但利用調整法最為簡便.

證明 1)若x1=x2=…=xn=1,待證式等號成立.

所以f(x1,x2,…,xn)>f(1,x1x2,x3,…,xn).這說明把(x1,x2)調整成(1,x1x2)后，f(x1,x2,…,xn)的值變小，依此類推，每調整一次,f(x1,x2,…,xn)的值減少一次，這樣，最多經過n-1次調整，(x1,x2,…,xn)變成(1,1,…,1),從而

f(x1,x2,…,xn)>f(1,x1x2,x3,…,xn)>

f(1,1,x1x2x3,…,xn)>

綜上所述，原不等式成立.

(1)

于是 (1-x1)(1-x2)…(1-xn)≥

(1-x1) (1-x2)…(1-xn)≥

注 本題把變量的取值向左、右2個方向調整，直至最大量的值是1，其余量都是0,與例1稍有區別,代表了局部調整法證明不等式的2種風格.

3 嘗試調整，觸類旁通

例4n(其中n≥4)個盤子里放有總數不少于4的糖塊，從任意選出的2個盤子里各取1塊糖放入另一個盤子中稱為一次操作，問能否經過有限次操作，把所有的糖塊集中到1個盤子里去？證明你的結論.

(第9屆CMO試題)

分析 經過嘗試，可經過有限步操作使所有糖塊集中到2個或3個盤子里，這就為進一步探索打開了缺口.

解 首先證明可經過有限步操作使所有糖塊集中到2個或3個盤子里.

事實上，如果放糖的盤子不少于3個，任取其中3個盤子，分別記為A,B,C,并設A,B,C中分別有a,b,c(其中0

(a,b,c) →(a-1,b-1,c+2)→…

→(0,b-a,c+2a).

即放有糖塊的盤子的總數減少1個(當a≠b時)或2個(當a=b時)，這樣繼續下去，總可以將糖塊集中在2個或3個盤子中.

其次，不妨設所有糖塊集中在盤子A,B,C中，每個盤中放的糖塊分別為a,b,c(其中a≥b≥c≥0).另取一個空盤D(由n≥4,知至少有4個盤子)，上述狀態簡記為(a,b,c,0).如果a,b,c中有2個相等，那么上述證明可經過有限步將糖塊集中到1個盤子中，故只要考慮a>b>c≥0的情形，又分為下列2種情形：

2)若a>c+2，則先作如下操作：

(a,b,c)→(a-1,b-1,c+2),

因為a>b>c及a>c+2，所以

a-1>b-1≥c,a-1≥(c+3)-1=c+2,

故經過調整后，3個盤子中所放糖塊量的最大數減少1，而最小數不減少，故經過有限調整可歸結為有2盤糖塊數相等或情形1)，于是由前面證明可知經過有限步操作可將糖塊集中到1個盤子中.

4 直覺調整，茅塞頓開

但在有些問題的解決過程中，變量的流向并不明顯，需輔以直覺作出判斷.

1)當x1,x2,x3,x4,x5取何值時，S取到最大值？

2)進一步地，對任意1≤i≤j≤5有|xi-xj|≤2,當x1,x2,x3,x4,x5取何值時，S取到最小值？說明理由.

(2006年全國高中數學聯賽試題)

|xi-xj|≤1(其中1≤i≤5，1≤j≤5).

(2)

將S改寫成

x1x2+(x1+x2)(x3+x4+x5)+x3x4+

x3x5+x4x5,

同時有

x3x5+x4x5,

于是

這與S在x1,x2,x3,x4,x5時取到最大值矛盾.因此

|xi-xj|≤1(其中1≤i≤5，1≤j≤5).

當x1=402,x2=x3=x4=x5=401時取到最大值.

2)當x1+x2+x3+x4+x5=2 006且|xi-xj|≤2時，只有如下3種情形滿足要求：

①402,402,402,400,400；

②402,402,401,401,400；

③402,401,401,401,401.

例6S是由在同一條直線上個點構成的一個集合，隨機地選擇其中的4n個點染成藍色，其余2n個點染成綠色.證明：存在一條線段，使其包含S中的3n個點，其中2n個點為藍色，n個點為綠色.

(2008年巴西數學奧林匹克競賽試題)

(3)

再考慮當i=1,2,…,3n時，f(i+1)與f(i)的關系：

若Ai,Ai+3n同色，則

f(i+1)=f(i);

若Ai為藍色，Ai+3n為綠色，則

f(i+1)=f(i)-1;

若Ai為綠色，Ai+3n為藍色，則

f(i+1)=f(i)+1.

總之，|f(i+1)-f(i)|≤1,結合式(3)知必存在j∈{1,2,…,3n+1}使f(j)=2n，即存在一條線段恰好包含S中Aj,Aj+1,…,Aj+3n-1這3n個點，其中2n個點為藍色，n個點為綠色.

注 本例把包含前3n個點的線段看作原始狀態，每步調整時去掉最前面那個點并添加后面相鄰的一個點.調整過程中可證明存在一個時刻，連續3n個點中恰有2n個藍色點.

由以上例題可以看出，局部調整法的精髓可以體現在以下4個方面：

1)通過調整，使原狀態達到某種意義下更優的狀態，從而逐步達到最優狀態(注意必須以最優狀態存在為前提)；

2)通過調整，將大量一般的情形歸結為討論少數幾類特殊的、規則的情形，使問題便于解決；

3)在按某種條件或要求進行操作時，掌握操作過程中的某種內在規律(如不變性、奇偶性、同余性、連續性、單調性等)進行逐步調整，使之得出某種結論；

4)為尋找某種對象，在滿足部分限制條件的前提下，通過調整使其余限制條件也得以滿足.

[1] 張小明.例談局部調整法在不等式證明中的應用[J].中學教研(數學)，2014(9):37-38.

[2] 鄭日鋒.數學競賽中的局部調整策略[J].中等數學，2004(4)：10-11.

[3] 蘇勇,熊斌.不等式的解題方法與技巧[M].上海:華東師范大學出版社，2013:119-120.

[4] 盧學謙.數學教學中對學生思維深刻性的培養[J].中學數學雜志，2014(11)：23-25.