與有心圓錐曲線的共軛直徑相關的一類軌跡問題

范偉峰 (天臺中學 浙江天臺 317200)

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與有心圓錐曲線的共軛直徑相關的一類軌跡問題

范偉峰 (天臺中學 浙江天臺 317200)

數學家波利亞認為：“一個重大的發現可以解決一道重大的題目，但是在解答任何一道題目過程中也會有點滴的發現.”近日，筆者在求解一道解析幾何題時，就經歷了這一過程，與讀者分享.

圖1

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片段1 筆者首先就此題給出了初步解答：

設P(x1,y1)，Q(x2,y2),則

即

x1x2+2y1y2=0,

片段2 對于一般的情形，設P(x1,y1)，Q(x2,y2),則

即

b2x1x2+a2y1y2=0.

我們也可以從變換的角度給出PQ中點N的軌跡的幾何解釋，從而更深刻地揭示該問題的本質．

圖2

將以上性質進行推廣，得到了如下的性質：

證明 設P(x1,y1)，Q(x2,y2),則

即

b2x1x2+a2y1y2=0.

由N(λx1+μx2,λy1+μy2)，令x=λx1+μx2,y=λy1+μy2，從而

b2x2+a2y2=b2(λx1+μx2)2+a2(λy1+μy2)2=

類似地，對于雙曲線，有以下性質.

眾所周知：雙曲線的漸近線是退化了的雙曲線，若P,Q是雙曲線的漸近線上2個不同的點，也具有類似于上述的性質.

證明 設P(x1,y1)，Q(x2,y2),則

由S△OPQ=ab得

即

x1x2=a2.

由N(λx1+μx2,λy1+μy2)，令x=λx1+μx2,y=λy1+μy2,從而

b2x2-a2y2=b2(λx1+μx2)2-a2(λy1+μy2)2=

2λμ(b2x1x2-a2y1y2)=

2λμ(b2x1x2-a2y1y2)=

4λμb2x1x2=4λμa2b2,

每一個數學問題都有它的本質.面對一個問題，如果只看到它的表層，就無法深入到內核，從而看不透問題的本質，正所謂“不識廬山真面目，只緣身在此山中”.因此，在平時的解題和探究過程中，教師應通過問題的解決揭示問題的本質，使數學問題的解決變得簡單而自然．

[1] 杜山,盧偉峰.橢圓共軛直徑的一組性質[J].數學通訊，2008(15):19-20.

[2] 湯敬鵬.利用仿射變換解決與橢圓有關的高考試題[J].數學通訊，2010(4):44-46.