巧用“凹凸” 妙得最值
——一個凸函數命題的探究和應用

呂孫忠 (北京師范大學研究生院 北京 100875) ●沈 亞 (杭州市第四中學 浙江杭州 310018)

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巧用“凹凸” 妙得最值
——一個凸函數命題的探究和應用

呂孫忠 (北京師范大學研究生院 北京 100875) ●沈 亞 (杭州市第四中學 浙江杭州 310018)

證明 求最大值時，可用數學歸納法證明.當n=2時，若s≤a+b，對于x1,x2∈[a,s-a]，存在參數0≤t≤1，使得

x1=ta+(1-t)(s-a)，

x2=(1-t)a+t(s-a).

由Jensen不等式，可得

f(x1)≤tf(a)+(1-t)f(s-a),

和

f(x2)≤(1-t)f(a)+tf(s-a)，

從而

f(x1)+f(x2)≤f(a)+f(s-a).

若s≥a+b，可以用類似方法證明

f(x1)+f(x2)≤f(b)+f(s-b).

因此當n=2時，結論成立.若當n=k時，結論成立,則當n=k+1時，

首先將xk+1視為常量，由于xk+1∈[a,b]，得

f(xk)+f(xk+1)+lf(a)+(k-1-l)f(b)，

其中xk=s-xk+1-la-(k-l-1)b.再將xk+1視為自變量，利用當n=2時的結論，當f(xk)+f(xk+1)取到最大值時，xk或xk+1中至少有1個為a或b，綜上可得x1,x2,…,xk+1中至少有k個元素等于a或b.即當n=k+1時結論成立，因此對一切正整數n都成立.

求最小值時，根據凸函數的性質，利用Jensen不等式即可，這里就不再贅述了.

注 命題1中最大值的結論是文獻[1]給出的，但文獻[1]僅給出了變量數為2時的證明.筆者結合文獻[1]中的結論和Jensen不等式，總結形成了命題1，并給出了變量數為n時的證明.

注 命題2是筆者在命題1的基礎上改編的.由條件可知f(x)是[a,b]上的凹函數，從而f′(x)≤0，于是-f′(x)≥0，可知-f(x)是定義在實數[a,b]域上的凸函數，那么命題2的證明就轉化成了命題1的證明.

下面的內容主要利用命題1和命題2來解決和推廣一些實際例子，以供大家參考.

( )

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

(2012年“華約”自主招生試題)

分析 此題以填空題的形式出現，相信很多考生剛拿到題目時，無法從最大值的條件逆推出等于-6的個數.但如果站在命題1的高度上看待此題，那么答案便手到擒來.

-6≤50-[-6x+10×(9-x)]≤10，

解得

34≤16x≤50，

又因為x為整數，所以x=3.故選C.

分析 此題的關鍵是確定x1,x2,…,xn中a和b的個數，可設a的個數為x，根據命題1，限制最后一個變量的取值范圍：a≤s-ax-(n-1-x)b≤b，化簡得

即

代入即可求得最大值和最小值.

注 由于區間[a,b]的任意性，推論1中的f(x)必須是整個實數域上的凸函數，而形如x2k,x2k+c,(x+c)2k(其中k∈Z+)這一類函數都符合該要求，如果將推論1擴展到上類函數上去，也會得到類似的結論.另外，計算a和b個數的公式不管是凹函數還是凸函數都是通用的，可作為一個結論單獨使用.

注 用了“至少”是因為最后一個變量也有可能是a或b，證明過程見推論1.

(《數學通訊》2014年第4期問題172)

分析 此題的特點是沒有直接給出自變量的取值范圍，卻隱晦地給出了求解自變量取值范圍的條件.因此,在解題前先要確定xi的取值范圍，再利用推論1便可解決問題.總之，要善于挖掘題干中的隱藏條件，找到切入點，那么解題思路便會浮現在眼前.

xk≤121-77=44(其中i=1,2,…,121)，

即

1≤xi≤44(其中i=1,2,…,78).

根據推論1，當P取到最大值時，1的個數為77，44的個數為1，于是P的最大值為2 013.

(2013年全國高中數學聯賽B卷加試題)

則

1)若k>1或k<0，則

Mmax=[m]ak+(ma-[m]a)k，

2)若0

Mmin=[M]ak+(ma-[m]a)k.

分析 令f(x)=xk,當k>1或k<0時，

f″(x)=k(k-1)xk-2≥0，

可知f(x)為凸函數，根據命題1，x1,x2,…,xn中至少有n-1個0或a，不妨設a的個數為x，則0≤ma-ax

注 相比推論1，由于推論3中自變量的取值范圍限制在[0,a]，故對形如xk(其中k≠1)的函數都存在一般結論，但需要注意的是，函數的凹凸性會隨著數值k的改變而改變.

(《數學通訊》2014年第4期問題175)

分析 類似于例3，若直接求導過程太過復雜，則可以通過適當轉化和變形來減少求導過程中產生的計算量.此外，還要注意的一個條件是：xi為正實數，取不到0.

分析 一般情況下，三角函數會在邊界點或者各個變量取相等值時取到最值，但這種感性的判斷缺乏科學的依據.而sinx在x∈[0,π]為凹函數是本題的切入點.

注 三角函數在某些區間上具有凹凸性，因此我們可以在特定的區間里，利用凹凸函數的性質來研究三角函數的最值.

練習

1.設實數x1,x2,…,x1 997滿足如下2個條件：

(第12屆CMO試題)

2.已知a,b為非負數，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值.

(2006年清華大學自主招生試題)

[1] 范建熊，隋振林.不等式的秘密[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2014.