以阿氏圓為背景編擬問題的新視角

余建國 (大廠高級中學 江蘇南京 210044)

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以阿氏圓為背景編擬問題的新視角

余建國 (大廠高級中學 江蘇南京 210044)

阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里德齊名，被稱為亞歷山大時期數學三巨匠．阿波羅尼斯對圓錐曲線有深刻而系統的研究，其主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是其研究成果之一．

1 關于阿波羅尼斯圓

圖1

2 以阿氏圓為背景的問題回顧

圖2 圖3

以上這些以阿氏圓為背景的問題，共同點都是“2個定點”是定的——無論是已知的，還是求出的．如2013年江蘇省數學高考試題第17題：如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點A(0，3)，直線l：y=2x-4．設圓C的半徑為1，圓心在l上，1)略；2)若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．將阿氏圓設為隱蔽的，并將這個圓與另一個動圓聯系起來，通過2個圓的位置關系確定動圓中參數的取值范圍．這個改編立意新穎，為繼續設計以阿氏圓為背景的問題提供了新的視角．

3 以阿氏圓為背景編擬問題的新視角

視角1 直線與圓域的位置關系

設計方法 將阿氏圓定義中的“=”改為“>(或<)”，那么動點C的軌跡就變成了阿氏圓的外部(或內部，視比值大小而定)了，稱這個軌跡為圓域,由此可以轉而研究直線與圓域的位置關系，或者2個圓(域)的位置關系．

例1 已知點A(0，2)，B(1，0)，D(t，0)(其中t>0)，M是線段AD上的動點，若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整數，則t=______．

解 設點M(x，y)，由AM≤2BM得

x2+(y-2)2≤4[(x-1)2+y2]，

化簡得

即

即

2x+ty-2t=0，

因此

化簡得

11t2-32t-4≥0．

因為t是正整數，且當t=1，2，3時，該不等式不成立，而當t=4時，該不等式成立，所以t=4．

視角2 一個定點在某直線上動起來

設計方法 阿氏圓中的2個定點是“固定不動”的，如果讓其中一個在某直線上動起來，那么阿氏圓也隨之改變位置，研究這個動圓與其他曲線的位置關系．

例2 已知圓C：(x-1)2+(y-4)2=4，若過x軸上的一點P(a，0)可以作一條射線，與圓C依次相交于點A，B，且PA=AB，求實數a的取值范圍．

由點A，B均在圓C上，得

(1)

及

即 (x0+a-2)2+(y0-8)2=16.

(2)

式(1)和式(2)表明:圓C與圓D：(x+a-2)2+(y-8)2=16有公共點，從而

4-2≤CD≤4+2，

即

4≤(a-1)2+16≤36，

解得

例3 已知△ABC的3個定點A(-1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圓的圓心為H.

1)若直線l過點C且被圓截得的弦長為2，求直線l的方程；

2)對于線段BH上的任意一點P，若在以點C為圓心的圓上都存在2個不同的點M，N，使得點M是線段PN的中點，求圓C的半徑r的取值范圍．

解 1)x=3或4x-3y-6=0．

由于點M，N都在半徑為r的圓C上，從而

(3)

及

即 (x0+m-6)2+(y0+n-4)2=4r2.

(4)

式(3)和式(4)表明:圓C與圓D：(x+m-6)2+(y+n-4)2=16有公共點，從而

2r-r≤CD≤2r+r，

即

r2≤(m-3)2+(n-2)2≤9r2.

又3m+n-3=0，得

r2≤10m2-12m+10≤9r2,

視角3 一個定點在某圓上動起來

設計方法 類似地，如果讓其中一個“定點”在某圓上動起來，那么阿氏圓也隨之改變位置，研究這個動圓與其他曲線的位置關系．

例4 在平面直角坐標系xOy中，圓C1：(x+1)2+(y-6)2=25，圓C2：(x-17)2+(y-30)2=r2．若圓C2上存在一點P，使得過點P可作一條射線與圓C1依次交于點A，B，滿足PA=2AB，求半徑r的取值范圍．

因為點A，B均在圓C1上，所以

(5)

即關于α的不等式

有解．

(7)

(8)

解式(7)得，5≤r≤55；式(8)恒成立．因此半徑r的取值范圍是[5，55]．

阿氏圓有多種表示形式，如運用復數形式可敘述為：滿足

(9)

的復數z對應的點Z的集合就是阿波羅尼斯圓．式(9)可化為

總之，像這樣來源于數學史、數學定義的問題是我們取之不竭的寶庫.如果在平時的教學中能夠較多地滲透，不斷地變換視角、改編挖掘，從“高觀點”看數學問題，達到“居高臨下”的境界，將更有利于提高習題的教學質量，培養學生的數學學習興趣，促進學生創造思維的發展．

[1] 李錦旭．趣說阿波羅尼斯圓與高考[J]．中學生數學，2004(9)，32-33．

[2] 周永興．從江蘇08年高考13題的解法看“阿波羅尼斯圓”的應用[J]．數學通報，2009(5)，58-59．