必要條件論解題 穩(wěn)扎穩(wěn)打見功底

諸杰鋒 (杭州市第九中學 浙江杭州 310020)

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必要條件論解題 穩(wěn)扎穩(wěn)打見功底

諸杰鋒 (杭州市第九中學 浙江杭州 310020)

數(shù)學解題的過程，重要的是展示思考問題的思維過程，理解數(shù)學問題的本質(zhì)，從表象中梳理出解決問題的關鍵，歸結到底就是充要條件變形的演化過程．通過研究近幾年的各地數(shù)學高考試卷，發(fā)現(xiàn)一些試題都能通過轉(zhuǎn)換思考角度，運用必要條件簡潔明快地解決問題.下面以這些試題為例，闡述必要條件在解題中的應用．

1 善用必要條件求參數(shù)值

例1 設a∈R，若x>0時均有

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，

則a=______．

(2012年浙江省數(shù)學高考理科試題第17題)

解 當x>0時，不等式

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0

恒成立的必要條件是當x=2時成立，即

[2(a-1)-1](22-2a-1)≥0，

得

(2a-3)2≤0.

又(2a-3)2≥0，故

(2a-3)2=0，

從而

評注 本例若按常規(guī)思路，令

f(x)=[(a-1)x-1](x2-ax-1)，

把問題看作f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，然后用導數(shù)知識去討論求解，也可以求解，但過程繁雜，甚至有些學生做不下去，半途而廢．而利用必要條件則可避免“小題大做”，其解法簡潔明快，實在是精彩巧妙．

例2 設a,b∈R，若x≥0時恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2，則ab等于______.

(2013年浙江省數(shù)學高考文科試題第16題)

解 當x≥0時，不等式

0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2

恒成立的必要條件是當x=1成立，即

0≤a+b≤0，

故

a+b=0，

于是x4-x3+ax+b=x4-x3+ax-a=

(x-1)(x3+a)≥0.

當0

綜上可得a=-1，從而b=1，ab=-1．

評注 本例充分運用必要條件“兩邊夾”得到a+b=0，這是求解本題關鍵的一步．

2 善用必要條件求參數(shù)范圍

例3 已知集合M={(a,b)|a≤-1,且b≤m}，其中m∈R．若對任意(a,b)∈M，均有a·2b-b-3a≥0，求實數(shù)m的取值范圍．

解 對于任意(a,b)∈M，不等式a·2b-b-3a≥0恒成立的必要條件是當a=-1，b=m時成立，即

-1·2m-m-3·(-1)≥0，

亦即

2m+m-3≤0.

令f(m)=2m+m-3,則f(m)在R上單調(diào)遞增，且f(1)=0，得m≤1．當m=1時，2b+b-3≤0，故對任意a≤-1，b≤1，都有

a·2b-b-3a≥a·2b-3-3a=

(a+1)(2b-3)≥0

成立．因此所求實數(shù)m的取值范圍為m≤1．

評注 試題以“集合”的形式出現(xiàn)，簡潔新穎，其實質(zhì)是對任意的a≤-1，且b≤m，不等式a·2b-b-3a≥0恒成立，常規(guī)解法是采用“主元法”，但需分類討論，解題過程實在繁瑣．若先運用題設的必要條件得到參數(shù)m的范圍，再結合題意對m=1的情形作充分性驗證，其過程要簡潔得多，思路也比較新穎．

例4 設函數(shù)f(x)=a2lnx-x2+ax,其中a>0．

1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

2)求所有實數(shù)a，使e-1≤f(x)≤e2對x∈[1,e]恒成立．

注:e為自然對數(shù)的底數(shù)．

(2011年浙江省數(shù)學高考文科試題第21題)

解 1)f(x)的增區(qū)間為(0,a)，減區(qū)間為(a,+∞)．

2)對x∈[1,e]，不等式e-1≤f(x)≤e2恒成立的必要條件是

f(1)=a-1≥e-1,

即a≥e．由第1)小題知f(x)在[1,e]內(nèi)單調(diào)遞增，要使e-1≤f(x)≤e2對x∈[1,e]恒成立，只要

解得a=e．

評注 本例第2)小題的常規(guī)思路是分00縮小為a≥e，明確了函數(shù)單調(diào)性，回避了分類討論，優(yōu)化了解題過程．事實上只需利用題設的必要條件

即可迅速獲得問題的結果a=e，再作充分性驗證，達到簡捷求解，實現(xiàn)“大題小做”的效果．

3 善用必要條件妙證不等式題

評注 在不等價變形中，放縮的關鍵在于恰當．“放縮得太大或不夠”，都會讓解題過程陷入死胡同．尤其在一些數(shù)學競賽中，縮放的關鍵點是一個很小的區(qū)間，如何修正放縮的結果是很關鍵的．“放縮得過了就回一點點”，“放縮得不夠就要將力度擴大”，適當修正公式，選擇合適的公式或定理．

證明 (2n)2>(2n)2-1=(2n-1)(2n+1)，

故

隨著食品行業(yè)的發(fā)展，功能性食品的研究與開發(fā)已經(jīng)成為食品領域的前沿和熱點，為了更好地學習“功能性食品”，將學習的知識點應用到實際生活中去，要對課程的教學內(nèi)容進行重組，圍繞學生在畢業(yè)后在食品、保健品行業(yè)從事功能性食品輔助開發(fā)、生產(chǎn)、檢測、銷售等工作所需要的綜合能力和職業(yè)素養(yǎng)進行教學項目的選取，實時了解行業(yè)、企業(yè)的發(fā)展動態(tài)，對課程的教學內(nèi)容進行實時更新，保證教學內(nèi)容與崗位要求的一致性[3]。課程組及時修改教學計劃，使課程教學項目緊跟行業(yè)發(fā)展和企業(yè)需要。

(1)

即

代入式(1)得

評注 本題的關鍵在于把根式或其他式子換成2個相鄰的根式差，然后利用求和來消去中間部分，只剩2頭．數(shù)學思想中的轉(zhuǎn)化與化歸，要求學生能夠正確處理等價變形與不等價變形，以期達到完美的解題要求．轉(zhuǎn)化與化歸，最重要的是找到合適的構造結論．

4 善用必要條件探求存在性問題

1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

解 1)當a=-1時，f(x)的遞增區(qū)間為(-∞,+∞)，無遞減區(qū)間；

當a>-1時，f(x)的遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(a,+∞)，遞減區(qū)間為(-1,a)；

當a<-1時，f(x)的遞增區(qū)間為(-∞,a)和(-1,+∞)，遞減區(qū)間為(a,-1)．

從而

-2≤f(1)-f(0)≤2，

即

解得

即

解 由題意得

從而

解得

故a=1.再結合-1≤f(0)≤1,-1≤f(1)≤1可得b=1，經(jīng)驗證，實數(shù)對(a,b)=(1,1)符合題意．

例8 已知函數(shù)f(x)=x3+(m+2)x2+(2m+1)x(其中m≠R)．設函數(shù)f(x)除0外還有2個不同的零點x1，x2(其中x1x2≠0，且x1f(-4)恒成立?若存在,求出實數(shù)m的取值范圍;若不存在,請說明理由．

解 由f(x)=x3+(m+2)x2+(2m+1)x=0得

x=0或x2+(m+2)x+2m+1=0.

Δ=(m+2)2-4(2m+1)>0，

即

由f′(x)=3x2+2(m+2)x+(2m+1)=0,得

1)當m>4時，由

x1+x2=-(m+2)<0,x1x2=2m+1>0

知x1<0,x2<0，且

x1

8m-36,

化簡得

(m+8)(2m-11)2>0，

從而

m>-8，

故

以上幾例難度較大，而善用必要條件解題，則可化難為易，化繁為簡，避免“小題大做”，甚至實現(xiàn)“大題小做”．因此有意識地善用必要條件解題，能縮小目標范圍，打開解題思路，優(yōu)化解題策略，提升思維品質(zhì)．但是利用必要條件解題所得結果的嚴謹性往往有待于探究，因此要對所得結果作進一步的檢驗或證明．在平時我們只能作適當?shù)刈兓屯卣褂柧殻_闊視野，培養(yǎng)動態(tài)思維，鍛煉數(shù)學思想，積累解題經(jīng)驗，提高應變能力，創(chuàng)造性地使用所學知識，才能從容地善用必要條件解題．

[1] 郭志祥．“正”“誤”例析“充分、必要條件”在解題中的應用[J]．中學數(shù)學，2013(7)：93-95．

[2] 余錦銀．高中數(shù)學審題策略[J]．數(shù)學教學研究，2009(3)：27-31．