博弈論視角下公地悲劇模型研究

紀(jì)恭婷 蘇抗男

[摘要]通過構(gòu)建一個(gè)草原放牧的博弈模型，以博弈論的視角對(duì)牧民的一次行為和連續(xù)行為進(jìn)行研究分析，在參與者行為之間存在相互約束和牽制的情況下，得出以下結(jié)論：在重復(fù)博弈的環(huán)境下，“公地悲劇”問題能夠得到解決，這需要依靠?jī)?nèi)生的約束機(jī)制。

[關(guān)鍵詞]公地悲劇；博弈論；內(nèi)生規(guī)則

[DOI]1013939/jcnkizgsc201529111

1968年英國(guó)哈丁教授（Garrett Hardin）在《The tragedy of the commons》一文中首先提出“公地悲劇”這一概念，它意味著“環(huán)境的退化會(huì)發(fā)生在任何時(shí)候，只要許多人共同使用一種稀缺資源”。本文把博弈論的概念和思想引入到“公地悲劇”這一現(xiàn)象中，致力于找出化解“公地悲劇”的方法。

1“公地悲劇”的博弈論模型

假設(shè)在由n個(gè)牧民共同擁有的草原上，每個(gè)牧民都養(yǎng)羊，根據(jù)世代多年放牧的傳統(tǒng)，他們都知道這片草原上羊的最優(yōu)的飼養(yǎng)數(shù)量，我們把這一數(shù)量設(shè)為Q1，那么每個(gè)牧民的最優(yōu)飼養(yǎng)量為Q1/n。由于草原是公共的，只要有利可圖，牧民養(yǎng)羊的飼養(yǎng)數(shù)量越多越好。假定每個(gè)牧民能獲得收益的飼養(yǎng)量不低于Q1/n，這樣，每個(gè)牧民羊的飼養(yǎng)數(shù)量有兩個(gè)可能，一是超額飼養(yǎng)，二是根據(jù)統(tǒng)一的指標(biāo)限額飼養(yǎng)。

為了使我們的分析更具有一般的普遍性，把草原上的n個(gè)牧民簡(jiǎn)化為兩個(gè)典型性的代表A和B，A和B共同在這片草原上放牧，把羊的飼養(yǎng)量的確定過程看作是A和B相互之間的博弈，那么A和B就有兩個(gè)可選擇的策略，即超額或限額。在A、B選擇不同的策略的情況下，A、B會(huì)出現(xiàn)收益變化：①A超額、B限額，在市場(chǎng)均衡的情況下，A的飼養(yǎng)里比B的飼養(yǎng)量多，收益也多，A的收益為a，B的收益為b，則a>b；②B超額、A限額，A的收益為b，B的收益為a，同理，有a>b；③A、B都限額，總收益為T，達(dá)到社會(huì)最優(yōu)，A、B共享收益π，每人π/2，由公地放牧?xí)?dǎo)致非帕累托最優(yōu)，有π>a+b，④A、B都超額，那么A、B的收益均為τ/2，有τ<π。同時(shí)，為了讓超額飼養(yǎng)顯得有利可圖，我們還假定，無論是A或B超額，超額方的收益都大于π/2。A、B中只要有一方超額，另一方限額，則超額方的多獲得的收益為限額方損失的收益。

2博弈模型分析

首先，假定以上“公地悲劇”博弈模型是在完全信息的情況下進(jìn)行的，即A、B都知道對(duì)方的策略和收益；之后，將A和B的博弈分為同時(shí)博弈和序貫博弈兩種情形。下面將對(duì)以上兩種情形進(jìn)行敘述分析。

當(dāng)A和B同時(shí)博弈，對(duì)A來說，當(dāng)B采取限制飼養(yǎng)數(shù)量的策略時(shí)，A的收益a>π/2，A的最優(yōu)選擇是超額；當(dāng)B采取超額飼養(yǎng)策略時(shí)，A的收益b>τ/2；由以上分析可知對(duì)A不存在占優(yōu)策略，A所采取的策略需要根據(jù)B的策略進(jìn)行選擇。對(duì)B來說，當(dāng)A采取限額策略時(shí)，B的收益為a>π/2；當(dāng)A采取超額策略時(shí)，B的收益b>τ/2，B的最優(yōu)選擇是限額；同樣，B也不存在占優(yōu)策略，B所采取的策略需要根據(jù)A的策略進(jìn)行選擇。

由以上分析可知，在同時(shí)博弈的情形下，A、B之間有著兩個(gè)納什均衡，即（限額；超額）與（超額；限額）。因?yàn)橥瑫r(shí)博弈存在的階段性，納什均衡不具有唯一解，這說明在實(shí)際情況下A和B會(huì)面臨策略選擇上的困境，在這樣的情形下，為了實(shí)現(xiàn)自身利益的最大化，A和B均有可能以一定的概率選擇超額策略或限額策略。那么，我們假定A選擇限額策略的概率是r1，選擇超額策略的概率是1-r1；B選擇限額策略的概率是r2，選擇超額策略的概率是1-r2，那么，A的最優(yōu)化模型為：

VA=r1[[SX（]π[]2[SX）]r2+（1-r2）b]+（1-r1）[ar2+（1-r2）[SX（]τ[]2[SX）]]

求A在概率r1下的收益最大值Max[DD（X]r1[DD）]VA，有：[SX（]π[]2[SX）]r2+b（1-r2）-ar2-[SX（]τ[]2[SX）]（1-r2）=0，則，r2=[SX（]b-[SX（]τ[]2[SX）][]（a+b）-（[SX（]π[]2[SX）]+[SX（]τ[]2[SX）]）[SX）]>0

根據(jù)支付矩陣的對(duì)稱性，可推出：r1=r2=[SX（]b-[SX（]τ[]2[SX）][]（a+b）-（[SX（]π[]2[SX）]+[SX（]τ[]2[SX）]）[SX）]

綜上可知：r*1=r*2=[SX（]b-[SX（]τ[]2[SX）][]（1+b）-（[SX（]π[]2[SX）]+[SX（]τ[]2[SX）]）[SX）]為混合策略的納什均衡，這一均衡說明了當(dāng)A以概率r*1選擇限額策略時(shí)，A進(jìn)行策略選擇時(shí)沒有必要參考B的策略選擇來進(jìn)行，同樣的，B以概率r*2選擇限額策略時(shí)的策略選擇也不需要考慮A的策略選擇。

根據(jù)以上描述可得到以下結(jié)果：A、B選擇限額策略的聯(lián)合概率分布為：P（A=不超額；B=不超額）=r*1×r*2=[SX（]（b-[SX（]τ[]2[SX）]）2[][（a+b）-（[SX（]π[]2[SX）]+[SX（]τ[]2[SX）]）]2[SX）]；A、B選擇超額飼養(yǎng)策略的概率分布為：P（A=超額；B=超額）=（1-r*1）（1-r*2）；A、B選擇相異策略的概率為：r*1（1-r*2）+r*2（1-r*1）=2η*（1-r*2）=2r*2（1-r*1）。A和B中只要有一人選擇了超額飼養(yǎng)策略，草原的飼養(yǎng)量將偏離帕累托最優(yōu)，出現(xiàn)“公地悲劇”現(xiàn)象，出現(xiàn)的概率為：P（A=超額；B=超額）+P（A=超額；B=不超額）+P（A=不超額；B=超額）=（1-r*1）（1-r*2）+2η*（1-r*2）；根據(jù)概率的相關(guān)知識(shí)，“公地悲劇”出現(xiàn)的概率也可表示為1-P（A=不超額；B=不超額）=1-r*1×r*2∈[0，1]。

把A和B兩個(gè)牧民決定羊的飼養(yǎng)數(shù)量的決策過程看作是一個(gè)博弈，根據(jù)以上計(jì)算可知，“公地悲劇”這一現(xiàn)象會(huì)以一定的概率出現(xiàn)在博弈的收益中，這樣，從博弈論的視角分析“公地悲劇”就有了可行性。

其次，A、B連續(xù)博弈。當(dāng)A和B兩個(gè)牧民中有一個(gè)人在某些方面優(yōu)于另一個(gè)人即具備先行者的優(yōu)勢(shì)時(shí)，那么先行者就有觀望和利用先行者優(yōu)勢(shì)兩種選擇，這時(shí)A、B之間的博弈不再是同時(shí)博弈而是連續(xù)博弈。這里假設(shè)在完全信息的情況下，A是先行者，A先行動(dòng)、B后行動(dòng)，收益矩陣和同時(shí)博弈的時(shí)候相同。

對(duì)A來說，A知道假如他選擇超額策略，由于b>[SX（]π[]2[SX）]，B的最優(yōu)策略為限額策略，那么，A將獲得a的收益，B獲得b；假如A選擇限額策略，那么B一定超額，那么A獲得收益b，B獲得a。當(dāng)A具有先行者優(yōu)勢(shì)時(shí)，A能夠先行動(dòng)，并獲得a的收益（a>b），所以無論如何A也會(huì)選擇超額策略，這時(shí)，博弈的均衡解釋（超額；限額）。這就表示在連續(xù)一次性的博弈過程中，A、B兩個(gè)牧民的羊的總的飼養(yǎng)數(shù)量將超過草原上的帕累托最優(yōu)數(shù)量，出現(xiàn)“公地悲劇”。

從上文中的分析可知，理論上，在一次博弈的情形下，不管是同時(shí)博弈還是連續(xù)博弈，“公地悲劇”都可能發(fā)生，但在實(shí)際情況下，因?yàn)轲B(yǎng)羊這個(gè)活動(dòng)是不間斷連續(xù)進(jìn)行下去的，那么草原上牧民之間養(yǎng)羊數(shù)量的決策過程就是重復(fù)博弈的過程。一旦存在重復(fù)博弈，牧民之間由于人際關(guān)系、文化等原因會(huì)形成一種相互牽制的情況，最終使草原上羊群的飼養(yǎng)數(shù)量限制在符合集體利益最大化的帕累托最優(yōu)數(shù)量上面。

3對(duì)策研究

由以上分析可知，A、B因?yàn)榇嬖赼-[SX（]π[]2[SX）]的超額收益而產(chǎn)生了超額飼養(yǎng)羊的投機(jī)心理。A和B都是理性人，都是自私的，都不愿意因?yàn)樽约合揞~而損失了額外的收益，更不愿意看到因?yàn)殡p方都超額而帶來的共同損失。當(dāng)不存在一個(gè)實(shí)際有效的機(jī)制來約束雙方行為時(shí)，為了能減少自身的損失，在博弈的過程中，博弈雙方會(huì)透露這樣的信息：如果在社會(huì)交換的過程中出現(xiàn)了違約者，則拒絕與他合作，而拒絕合作給違約者造成的損失大于他不違約的損失，這樣就形成了一種可信的、有效的威脅。A和B在牧羊博弈的過程當(dāng)中自主地限制羊的數(shù)量，使其形成一個(gè)內(nèi)生的規(guī)則。當(dāng)限額策略合理地解決了“公地悲劇”問題時(shí)，在接下來的重復(fù)博弈中，人們會(huì)將這一行為堅(jiān)持下去，就成為了一種制度，一種內(nèi)生的制度，“公地悲劇”便得到了解決，不再出現(xiàn)。

4結(jié)論

通過以上分析，當(dāng)牧民們?cè)谶x擇羊的飼養(yǎng)數(shù)量時(shí)，相互之間存在一種相互約束、制約機(jī)制，并且這一博弈是重復(fù)進(jìn)行時(shí)，那么，飼養(yǎng)羊數(shù)量的限額將成為一個(gè)內(nèi)生的博弈規(guī)則，它不需要借助外界或第三方的力量來保證實(shí)施便能自己起到約束雙方行為的作用，因而“公地悲劇”能夠依靠?jī)?nèi)部的約束機(jī)制自發(fā)解決。

參考文獻(xiàn)：

[1] Hardin GThe tragedy of the commons[J].Science，1968：162.

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