指數梯度半無限介質中波的傳播

楊在林，黑寶平，王 耀

(哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，哈爾濱 150001)

非均勻介質中波的傳播研究為聲波、電磁波、地震波等領域的重要課題，并逐漸成為研究熱點。非均勻介質中影響波傳播的變化因素較多，如彈性模量、密度、深度、波速等。其中對波數變化研究尤其重要。豎向非均勻介質中波的傳播問題是研究復雜介質的基礎。一維變化的非均勻介質通常體現在密度、折射率、波速、深度及波數(在一定條件下波數等效波速，兩者可相互轉換)等其中之一按某種函數關系在某特定方向的變化。研究豎向非均勻介質中波傳播有多種方法。解析結果雖能獲得理想情形，但僅當波數按某些特定形式變化及經特殊函數處理后才可獲得封閉的嚴格解［1］。

基于Green's函數在研究均勻各向同性介質中波動問題的優越性，在對非均勻介質研究中尤其重要。在無限非均勻介質中，Hook［2］通過Green's函數法解決了常速度梯度變化的對稱彈性波傳播問題。Daros［3－4］研究非均勻各向異性介質中SH波基礎解時，推導出一系列轉化公式，用于推導線性波速變化的非均勻介質基本解研究。在此基礎上采用Green's函數解決波速按指數變化的一維非均勻各向異性介質中SH波傳播問題。Li等［5－7］利用 Green's函數的一重積分表達式對線性聲速剖面及變化折射率剖面非均勻介質進行研究，并將此方法拓展到對聲速隨高度變化的大氣層研究。Manolis等［8－9］運用保角映射與變量轉化獲得用Green's函數表示的廣義Helmholtz方程基礎解。對基于介質的非均勻性，廣泛用于各向異性、正交同性均勻介質中的 Green's函數已發生變化，如彈性動力學Green's函數法［10］、Green's函數有限元法［11］、Green's函數譜函數法［12］等。另一種解析法通常將一維變系數波動方程轉化為 Schr?dinger型方程［13－16］，利用路徑積分解法的優越性間接求得波動解。該轉化過程較復雜，尤其尋求有效代換較困難。文獻［17］對脈沖點源在非均勻彈性半空間中的波動問題進行研究，將豎向、水平方向位移由介質全反射系數的積分形式表示，但結果表示較復雜，且不能對波的傳播特性更深入分析。因各單元均由介質的物理性質決定，故不便于將其一般化。

本文研究點源在半無限空間內部情形，可模擬大氣、海水中爆炸及地震動問題。Alekseev等［18］研究波數隨深度變化時點源在自由界面情況，并認為在時域下更易解決其逆問題。對點源在半空間內部情形，研究各種特定的速度變化剖面，指數變化例外［19－20］。本文主要考慮波速以負指數次冪變化的豎向非均勻介質中波的傳播問題，在分離變量基礎上經Hankel函數獲得在給定邊界下速度勢函數。波在非均勻介質傳播會產生陰影區域，其大小與距點源距離及波動頻率相關。

1 模型建立及邊界條件

本文研究半無限非均勻空間中二維波傳播問題。介質參數由波速c(z)(波數k(z)=ω/c(z))變化而定。平面x=a為全反射表面，僅研究z＞a半空間在深度h處有點源P，到z軸的距離記為r，以此為邊界，將半空間分為Ⅰ(a＜z＜b)、Ⅱ(z＞b)兩區域，見圖 1。其中φ1，φ2分別為兩區域速度勢函數，在區域Ⅱ中，點源附近的勢能為φs=(1/r)eikr。

圖1 半無限非均勻空間中的點源PFig.1 Point source P in semi－infinite inhomogeneous space

問題的邊界條件為:① 在自由表面z=a處，聲壓全部消失，即φ1=0;② 對區域Ⅱ(z＞b)，聲波φ2須由點源P向外傳播的發散波;③ 在z=b，r≠0處，聲速分量連續，即φ1=φ2;④ 在z=b，r=0處，速度垂直分量非連續，即?φ1/?z－ ?φ2/?z=－D，其中 D 為測量聲波強度常數，與r方向速度勢有關。

2 控制方程及解答

基于時間簡諧波的線性波動方程為

聲壓或介質密度為

式中:c0為波速常數;ρ0為介質密度。

設Laplace變量s=υ+iω，則有 Laplace變換及逆變換［21］為

將式(4)代入式(1)去除時間因子，得相應的Helmholtz方程為

定義(υ +iω)/c0=i k，得約化 Helmholtz方程為

式中:k=(ω－iυ)/c0;(x，y，z)為平面笛卡爾坐標系。式(1)的解可表述為

式(6)可表示在特定深度下線性波傳播的控制方程。全部波動勢能為

式中:φ可以為壓力、位移或速度勢，可據邊界條件的適用性選擇變量。本文設其為速度勢，若設υ=0，則波數k可表示為k=ω/c0，與簡諧波相同。

式(8)為相對于自由表面z=a在z=b處的勢能。波數k(z)與水深a+b=h(x，y)與波角頻率ω關系為ω2=gk tan(kh) (9)式中:g為重力加速度。

用分離變量法解決速度勢問題。式(6)在柱坐標系(r，θ，z)下表示，不考慮θ對方程的影響，設φ=R(r)Z(z)，將波動方程轉化為

式中:λ為在r方向的傳播常數。

因速度分量在r=0、r=∞處均須為有限值故式(8)的解為

式中:J0(·)為零階第一類Bessel函數。

設聲速在z方向以負指數形式變化，則可表示為

式中:c0=2π/ω為在均勻介質中的波速;m為任意常數。

將式(13)代入式(11)，可表示為

由式(1)得

則有

將式(17)代入式(3)、(4)整理得

由此確定A，C，可表示為含D的表達式，即

點源在z平面內的速度勢正比于

具有任意速度勢剖面c(z)的豎向非均勻介質中，速度勢函數 φ 可表示為 Sommerfeld－type 積分［7，22］，即

又有

式中:Hankel函數可由積分獲得，即

若使式(26)收斂，H(·)可取 ζ=ξ+iη平面內W1，W2兩積分路徑或J(·)取W0為積分路徑，見圖2。

將式(25)、(26)代入式(12)可得J0(r)。從而由式(24)表示獲得φ1，φ2積分表達式。

對波速設定具有一般性，令式(13)中m=0，則可退化到均勻介質中波速按常數c0恒定不變的波傳播問題。此時，對應的速度勢函數(24)轉化為

圖2 Hankel函數積分路徑Fig.2 Integrating path of Hankel function

3 結論

(1)本文研究波速以負指數次冪變化的豎向非均勻介質中波傳播問題。通過對半無限非均勻空間中波動方程推導、求解，獲得速度勢函數的積分表達式，且可退化到均勻介質，具有普遍適用性。

(2)在該非均勻介質中，由于波連續折射可會產生陰影區域，其大小可與到點源的距離及波動頻率有關。該結果可為深入研究大氣層中聲波、地震波傳播機理提供參考。

［1］БреховскихЛ М. Волны В СпоистыхСредах.ИЗД АКАЛ［M］.1 － еизд.1957;2 － еизд.1974:121 －123.

［2］Hook J F.Green's functions for axially symmetric elastic waves in unbounded inhomogeneous media having constant velocity gradients ［J］.Journal of Applied Mechanics，ASME，1962，29(2):293－298.

［3］Daros C H.A fundamental solution for SH－waves in a class of inhomogeneous anisotropic media［J］.International Journal of Engineering Science，2008，46(8):809 －817.

［4］Daros C H.Green's function for SH－waves in inhomogeneous anisotropic elastic solid with power－function velocity variation［J］.Wave Motion，2013，50(2):101－110.

［5］Li Y L，Liu C H，Franke S J.Three－dimensional Green's function for wave propagation in a linearly inhomogeneous medium－the exact analytic solution［J］.The Journal of the Acoustical Society of America，1990，87(6):2285－2291.

［6］Li Y L.Exact analytic expressions of Green's functions for wave propagation in certain types of range-dependent inhomogeneous media［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1994，96(1):484－490.

［7］Li Y L，Whitea M J，Taib J F.An improved approximation for wave propagation above an impedance ground in a medium with a linear sound-speed profile［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1997，102(2):1231 －1234.

［8］Manolis G D，Shaw R P.Fundamental solutions for variable density two-dimensional elastodynamic problems［J］.Engineering Analysis with Boundary Elements， 2000，24(10):739－750.

［9］Shaw R P，Manolis G D.A generalized Helmholtz equation fundamental solution using a conformal mapping and dependent variable transformation［J］.Engineering Analysis with Boundary Elements，2000，24(2):177 －188.

［10］Vavrycuk V. Acoustic and elastodynamic 3D Green's functions for isotropic media with a weak velocity gradient［J］.Wave Motion，2000，31(3):223－236.

［11］Onyejekwe O O.Green element method for 2D Helmholtz and convection diffusion problems with variable velocity coefficients［J］.Numerical Methods for Partial Differential Equations，2005，21(2):229 －241.

［12］Calveta M，Margerin L.Velocity and attenuation of scalar and elastic waves in random media:a spectral function approach［J］.Journal of the Acoustical Society of America，2012，131(3):1843－1862.

［13］Razavy M. Determination of the wave velocity in an inhomogeneous medium from the reflection coefficient［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1975，58(5):956－963.

［14］Zaman F D，Masood K.Shear velocity inversion procedure for love waves［J］.Journal of Technical Physics，2003，44(3):295－301.

［15］Abraham P B，Moses H E.Exact solutions of the onedimensional acoustic wave equations for several new velocity profiles:Transmission and reflection coefficients［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1982，71(6):1391－1399.

［16］Li W，Liu S B，Yang W.A new approach of solving Green's function for wave propagation in an inhomogeneous absorbing medium［J］.Chinese Physics B，2010，19(3):1－3.

［17］Acharya H K.Field due to point source in an inhomogeneous elastic medium ［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1971，50(1B):172－175.

［18］Alekseev A S，Avdeev A V，Fatianov A G，et al.Wave processes in vertically-inhomogeneous media:a new strategy for a velocity inversion［J］.Inverse Problems，1993，9(3):367－390.

［19］Pekeris C L.Theory ofpropagation of sound in a half-space of variable sound velocity under conditions of formation of a shadow zone［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1946，18(2):295－315.

［20］Potter D S，Murphy S R.Solution of the wave equation in a medium with a particular velocity variation［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1962，34(7):963 －966.

［21］Liu G，Jayathilake P G，Khoo B C，etal.Conformalmapping for the Helmholtz equation:Acoustic wave scattering by a two dimensional inclusion with irregular shape in an ideal fluid［J］.Journal of the Acoustical Society of America，2012，131(2):1055－1065.

［22］Yamada R.On the radio wave propagation in a stratified atmosphere［J］.Journal of the Physical society of Japan，1995，10(1):71－77.