大變形下軸向力對船舶推進軸系彎曲固有頻率影響

鄒冬林，荀振宇，花純利，塔 娜，饒柱石

(1.上海交通大學 振動、沖擊、噪聲研究所，上海 200240;2.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240;3.海軍駐426廠軍事代表室，遼寧 大連 116001)

船舶航行時推進軸系在不平衡載荷與流體激勵下產生振動，經推進軸系、推力軸承及基座傳遞至船體引起噪聲，因此分析推進軸系動力學特性具有重要意義。準確預測軸系彎曲振動固有頻率對設計非常重要。船舶推進軸系不同于普通轉子，因受較大軸向靜推力，導致彎曲振動固有頻率發生變化。

實際的梁、轉子結構中存在較多受軸向載荷作用，如立柱受自重載荷作用，船舶、飛機推進軸系受軸向推力作用，機床主軸加工時受軸向分力、高速旋轉葉片受離心力作用等，且頗受關注。文獻［1］忽略轉動慣量及陀螺效應影響，研究高速旋轉軸在軸向力作用下固有頻率變化。文獻［2］研究末端帶集中質量盤的懸臂轉子在軸向載荷作用下固有頻率變化表明，陀螺效應會使第一階正進動模態發生屈曲的載荷增加。文獻［3］用傳遞矩陣法研究軸向力作用下彎扭耦合轉子振動特性表明，軸向力對彎曲方向固有頻率影響強于扭轉方向。文獻［4］研究變截面Euler-Bernoulli梁在軸向力作用下振動特性表明，軸向力對低階固有頻率及振型影響較大。文獻［5］研究加工過程中交變軸向力對球頭銑刀刀桿固有頻率影響。

以上分析均為軸向推力或系統振動幅值不大時的線性近似。對船舶推進軸系而言，靜推力較大、轉軸細長，在不平衡激勵或流體激勵下易產生較大振動［6］。此時幾何非線性效應不可忽略。因此需對幾何非線性效應下軸系動力學行為進行研究。文獻［7］研究變截面復合梁在軸向載荷與von Karman應變引起的幾何非線性聯合作用下軸系非線性固有頻率變化趨勢。文獻［8］利用攝動方法研究軸向載荷作用下因中性面伸長引起的幾何非線性梁屈曲行為。以上分析盡管涉及梁的非線性，但其非線性并非由軸向載荷引起。文獻［9］研究的軸向載荷作用下簡支轉子非線性固有頻率變化，其非線性為由軸向載荷引起，但模型忽略轉動慣量，且結構簡單，難以滿足工程實際。

因此，本文針對船舶推進軸系，考慮轉動慣量，忽略陀螺效應影響，建立考慮大變形的軸向靜推力引起幾何非線性動力學模型，研究軸向靜推力對船舶推進軸系彎曲固有頻率影響。

1 動力學模型

典型的螺旋槳軸系由螺旋槳、前后艉軸承、中間軸承及推力軸承組成，見圖1。為簡化分析，設軸系具有均勻截面，螺旋槳簡化為集中質量，各軸承簡化為有剛度彈簧。

圖1 船舶推進軸系簡圖Fig.1 Schematic of marine propulsion shafting

為獲得軸系動力學方程，考慮微元軸段的受力平衡。微元軸段在xy平面的受力投影見圖 2(x為軸向)。

圖2 微元軸段受力簡圖Fig.2 Force diagram of a small element shaft

由力平衡條件得

式中:fy為y向分布力;Vy為y向剪切力;P為軸向力;v為y向振動位移;θy=v'為截面轉角;ρ為密度;A為截面積。

考慮轉動慣量，忽略陀螺效應影響，由力矩平衡條件得

式中:My為繞z軸彎矩;I為截面慣性矩。

對工程一般問題采用線性近似即可獲得較高精度，但軸向靜推力或振動幅值較大時，簡單線性近似不能精確給出系統動力學行為，由高階項導致的非線性效應不可忽略。故本文保留正弦函數高階項，即

由Euler-Bernoulli梁理論知

結合式(1)～式(4)，考慮支撐彈簧影響，引入狄拉克函數獲得軸系非線性振動偏微分方程為

式中:xj為第j個支撐至螺旋槳距離;kj為第j個支撐剛度值。

同理可得z向振動微分方程為

式中:w為z向振動位移。

邊界條件為:

式中:第一項為y向剪力平衡;第二項為繞z軸彎矩平衡;M1，Jd1為螺旋槳質量及直徑轉動慣量。

設轉子完全對稱，記Z=v+i w，Z=v－i w，則式(5)～式(7)可變為

2 無量綱化及離散

無量綱邊界條件為

利用Galerkin方法將偏微分方程離散為常微分方程，試探函數采用線性模態振型。記為

式中:φm(x)為彎曲振動第m階振型函數。

將式(12)代入式(10)，兩邊乘以 φm(x)，從［0，1］區間積分，并分部積分結合邊界條件得

利用模態振型關于質量與剛度的正交性性質［10］，將振型按質量歸一化，無量綱下正交條件為

式中:ωm為彎曲方向第m階無量綱固有頻率。利用式(13)、(14)可化為:

式(15)為弱非線性問題，引入小參數ε，記為

則原方程可化為

3 多尺度法

本文采用多尺度法［11］求解此非線性問題。該法在平均法基礎上將時間尺度劃分更精細，由斯特羅克最早提出，并經奈佛等發展完善，因而成為較有效的近似計算方法。與攝動法相比，多尺度法明顯優點為不僅能計算周期運動，且能計算耗散系統的衰減振動;不僅能計算穩態響應，且能計算非穩態過程;也能分析穩態響應穩定性，描繪非自治系統全局運動性態。

設運動中含不同時間尺度 t，εt，ε2t，…的時間歷程。不同時間尺度描述變化過程的不同節奏，階數愈低變化愈緩慢，階數愈高變化愈迅速。引入表示不同尺度的時間變量為

非線性振動過程為不同尺度時間變量的函數，即

式中:m為小參數最高階次，取決于計算精度要求。

將不同尺度的時間變量視為獨立變量，則x(t，ε)成為m個獨立時間變量的函數，對時間微分可利用符合函數微分公式按ε冪次展開，即

式中:Dn為偏微分算子符號。

將動力學方程中的微分運算式(20)代入，變量Y按式(19)展開代入動力學方程，比較同次冪系數可得各階近似非線性偏微分方程組。依次求解過程中利用消除長期項的附件條件及初始條件，導出各階近似解的確定表達式。

本文只考慮一次近似解。引入兩個時間尺度T0，T1。設解的形式為

將式(20)、(21)代入式(17)，比較ε同次冪系數，得各階近似線性偏微分方程為

將零次近似方程(22)的解寫成復數形式，即

式中:A為待定復函數。將式(24)代入式(23)右邊，得

式中:NST為不會產生長期項的因子。

為避免長久項出現，函數A須滿足

將復數A寫成指數形式為

將式(27)代入式(26)，分開實、虛部，獲得 a，θ的一階常微分方程組，即

積分式(28)，并結合式(24)、(27)，可得系統非線性固有頻率與線性固有頻率關系，即

式中:a0為自由振動振幅，取決于初始條件。

由式(29)可知，彎曲振動的非線性固有頻率與軸向力及軸系參數有關。

4 算例分析

以某船舶推進軸系為例，軸系長度14.65 m，外徑300 mm，內徑160 mm，材料彈性模量210 GPa，密度7800kg/m3。軸系各支撐參數為:后尾軸承徑向剛度3.05 ×108N/m;前艉徑向剛度1.06 ×108N/m;中間軸承徑向剛度2.66×108N/m。螺旋槳質量為8 t，直徑轉動慣量2000kg·m2。

求解非線性參數βm時需對各階振型求導、積分運算。因船舶推進軸系邊界條件復雜，難以求得固有頻率及振型的解析解，只能獲得數值解。本文利用有限單元法求得振型的數值解，將軸系劃分成293個單元，每個單元長度均為0.05 m，各徑向軸承依次在15，155，269節點處。單元質量、剛度矩陣構成及詳細計算方法見文獻［12－13］。

采用有限單元法求得不考慮軸向靜推力的軸系彎曲前兩階線性固有頻率為:第一階9.27 Hz，第二階20.16 Hz。

獲得離散點振型后按式(16)用數值微分與數值積分技術求。為提高數值微分與積分精度，既可增加有限元單元數目，亦可將離散數值點擬合成B樣條曲線進行求導、積分運算［14］。大量實例表明，B樣條曲線在數據較稀疏下擬合效果亦較理想。此表明，用有限單元法求數值振型時可不用較多節點數目，因此本文采用第二種方法。數值振型的B樣條曲線擬合對比見圖3。由圖3看出，兩者吻合度較好。由式(16)可求出。

本文主要考察軸向力與振幅對彎曲方向固有頻率影響，計算結果均還原為有量綱量。考察軸系前兩階彎曲振動固有頻率，軸向載荷對第一、二階固有頻率影響見圖4、圖5。將僅考慮軸向力、不考慮幾何非線性影響稱為線性固有頻率;將同時考慮軸向力、幾何非線性影響稱為非線性固有頻率。由兩圖知，盡管線性下軸向壓力使各階固有頻率下降，但非線性效應呈硬彈簧特性，致各階固有頻率有所增加。線性條件下100 t軸向推力時第一階固有頻率下降約5.7%(所有百分比均以無靜推力固有頻率);第二階固有頻率下降約4.08%。考慮幾何非線性影響時固有頻率受振幅影響較大，呈平方關系(式(29))。振幅較小時固有頻率增加不明顯，幅值為 、100 t軸向推力時第一階固有頻率下降約5.5%，第二階下降約3.64%。與不考慮幾何非線性的固有頻率下降百分比差別不大(第一階固有頻率差別0.2%，第二階固有頻率差別0.44%)，表明此時系統非線性效應較弱，可忽略其影響;振動幅值較大時非線性效應急劇增加，使固有頻率增加明顯，如幅值為時，100 t軸向推力下第一階固有頻率下降約2.91%，第二階固有頻率未下降，反而增加2.92%，表明非線性效應不可忽略，否則會導致誤差;幅值為時，100 t軸向推力下第一階固有頻率增加達5.33%，第二階固有頻率增加高達23.43%，此時非線性效應呈主導趨勢。非線性作用對第二階固有頻率影響較第一階大。

圖3 模態振型擬合Fig.3 Modal shape fitting

圖4 軸向力對第一階固有頻率影響Fig.4 Effect of axial force on the first natural frequency

圖5 軸向力對第二階固有頻率影響Fig.5 Effect of axial force on the second natural frequency

5 結論

針對船舶推進軸系，用牛頓法建立大變形下受軸向靜推力的幾何非線性動力學模型，用Galerkin方法將偏微分方程轉化為常微分方程，并利用多尺度方法求解。通過研究軸向靜推力對船舶推進軸系彎曲固有頻率影響，結論如下:

(1)線性下軸向靜推力使軸系彎曲固有頻率降低，由其引起的幾何非線性效應呈硬彈簧特性，使軸系彎曲固有頻率增加。振動幅值較大時非線性效應明顯增強。非線性效應對高階固有頻率影響更大。

(2)船舶航行時工作頻率及葉頻應避開軸系固有頻率。對軸系載荷較大導致振動幅值較大時，軸系設計初期需充分考慮幾何非線性導致固有頻率增加特性，準確預估軸系固有頻率;對軸系，因螺旋槳葉片腐蝕或剝落導致不平衡量增加引起較大振動時，在幾何非線性作用下可能改變軸系的固有頻率，使工作頻率落入共振區。須及時修復螺旋槳或定期進行動平衡。

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