雙節懸臂管流固耦合系統基座振動研究

王斌華

(長安大學 道路施工技術與裝備教育部重點實驗室，西安 710064)

管道流固耦合振動問題蘊含豐富、復雜的動力學內容而備受關注，研究其振動特性具有廣泛的工程背景及重要應用價值。目前，對懸臂管流固耦合系統振動研究大多局限于單節臂管道振動特性［1］，或雖考慮多節臂管道振動，但僅研究剛性輸液管道耦合系統［2］，未考慮管道彈性變形對耦合系統的動力學影響。工程應用中，如噴漿機、混凝土泵車及高空消防車等均采用流體輸送管道附在多節柔性臂的結構設計，且節臂系統常位于振動基礎上，因此開展多節懸臂管流固耦合系統基座振動分析有重要工程價值。已有對此類機械多節臂桿結構的動力學研究［3－4］及振動控制研究［5－7］，但模型中未考慮流固耦合與基座振動因素。

本文結合柔性多體動力學［8－9］與流固耦合動力學理論，利用懸臂輸液管Lagrange方程建立基座振動作用時雙節柔性懸臂管流固耦合系統動力學方程，分析節臂姿態變化、節臂長度及平均流速對流固耦合系統振動影響。

1 耦合系統運動微分方程

雙節懸臂管流固耦合系統基座振動模型見圖1。方程建立基于假設:每節懸臂管全長范圍內具有統一內徑及截面屬性，材料各向同性;已知懸臂管材料彈性模量 E，截面慣性矩 I1、I2，單位長度質量 ρp1、ρp2，管長l1、l2;管內為無粘不可壓縮液體，液體單位長度質量ρf1、ρf2;流速U(t)，任一點流體流速方向相切于該處彈性變形管軸線，平行于單位切矢量;忽略流體－懸臂管系統內外結構阻尼及懸臂管剪切變形;懸臂管振動時管軸線不可伸長。懸臂管位于豎向振動基礎上，建立絕對坐標系x0o0y0與連體坐標系xioiyi( i=1，2，3)，o1點豎向振動位移為v(t)，x1o1y1固定于振動基礎上，懸臂管1管單元產生沿x2軸、y2軸位移分別為u1、w1，懸臂管2的管單元產生沿x3軸、y3軸位移分別為u2、w2。

圖1 雙節懸臂管流固耦合系統基座振動模型Fig.1 Dynamic model of the two cantilever pipes on vibration foundation

由圖1(b)可知，坐標系x2o2y2中，懸臂管1上任意管單元p1位置矢量為

在坐標系x0o0y0中，懸臂管1上任意管單元p1位置矢量為

管單元p1速度矢量為

式中:B為從連體坐標系x1o1y1到絕對坐標系x0o0y0的平移變換矩陣;A1為動坐標系 x2o2y2到動坐標系x1o1y1的方向余弦矩陣，即

式中:β1為x2軸與x1軸夾角。

坐標系x0o0y0中懸臂管1內流體單元速度矢量為

式中:2τ→f1為流體單元在坐標系x2o2y2中的切矢量，即

懸臂管2上管單元速度矢量為

式中:β2為坐標系x3o3y3的x3軸與坐標系x1o1y1的x1軸夾角。

在坐標系x0o0y0中，懸臂管2內流體單元的速度矢量為

式中:3τ→f2為流體單元在坐標系x3o3y3中切矢量，即

因此，懸臂管1動能為

懸臂管1勢能為

懸臂管1內流體動能為

懸臂管1內流體勢能為

懸臂管2動能為

懸臂管2勢能為

懸臂管2內流體動能為

懸臂管2內流體勢能為

用假設模態法，兩節柔性臂在各自連體坐標系橫向位移可表示為里茲基函數的線性組合［10－11］，即

式中:qkr(t)為對應φkr(x)的廣義坐標，φkr(x)為k節臂桿r階基函數;N為里茲基函數階數，據研究對象的固有頻率、激擾頻率確定此處N=2即可獲得滿意的近似。前兩階基函數［12］為

據文獻［1］，懸臂輸液管系統Lagrange方程為

式中:→r 為懸臂管末端位置矢量(圖1(a))，即

且

將式(9)～式(16)及式(20)、(21)代入式(19)，采用里茲基函數線性化表示節臂的橫向變形，整理得懸臂管流固耦合動力學方程為

式中:M，C，K，F分別為質量、阻尼、剛度矩陣及載荷列陣;q為廣義坐標列陣。

對時變系數微分方程組一般采用逐步積分的數值方法求解，本文用Newmark－β法，用MATLAB編寫程序，通過數值計算求得任意時刻廣義坐標q(t)，代入式(17)即可獲得懸臂管動態響應。

2 數值仿真

雙節懸臂管參數為:臂長l1=l2=0.75 m，節臂1慣性矩 Ip1=5.208 ×10－10m4，節臂2 慣性矩 Ip2=3.125×10－10m4，節臂1 密度 ρp1=0.675kg/m，節臂 2 密度ρp2=0.405kg/m，彈性模量 E=6.895 ×1010Pa，流體密度 ρf1= ρf2=0.154kg/m。

選取節臂的3種姿態進行振動響應分析，姿態角分別為:姿態1(β1=0°，β2=0°)，姿態 2(β1=52°，β2=－28°)，姿態3(β1=80°，β2=0°)。

2.1 流體平均流速影響分析

基座振動位移為 v(t)=0.0015 sin(0.6πt)(m)，選取流體流速分別為 U1(t)=2+0.1sin(0.6πt)(m/s)、U2(t)=5+0.1sin(0.6πt)(m/s)及 U3(t)=10+0.1sin(0.6πt)(m/s)進行分析，結果見圖3。由圖3可知，①平均流速相同時節臂系統姿態變化使系統振動響應變化較大，說明姿態角變化對雙節懸臂管流固耦合系統影響顯著;②節臂系統姿態不變時，隨平均流速增加姿態1動態響應幅值逐漸減小，姿態2、3動態響應幅值減小后再增大，但平均流速的提高會增加流體流動產生的激勵作用，使3種姿態的振動響應均值提高，且對水平姿態1可達較高的工作流速不使振動響應幅值過大。

圖3 不同平均流速時節臂振動響應Fig.3 Vibration response of arms with different flow velocity

2.2 節臂長度影響分析

基座振動位移為 v(t)=0.0015 sin(0.6πt)(m)，選取節臂長度參數分別為:① 臂長參數1(L1=0.5 m，L2=1.0 m);② 臂長參數2(L1=0.75 m，L2=0.75 m);③ 臂長參數 3(L1=1.0 m，L2=0.5 m)，姿態變化后節臂動態響應見圖4。由圖4可知，① 在每種固定姿態下，改變節臂長度使其末端振動響應變化顯著。因節臂長度變化會改變振動系統質量分布，引起系統固有頻率變化，因此振動響應幅值、頻率均發生變化;② 由圖4(b)知，L1=1.0 m，L2=0.5 m 時節臂間彎矩振動幅值最小。因此，采用節臂間彎矩作為主動控制力時該系統所需控制力較小，說明進行節臂系統振動控制設計時，優化臂架長度可降低系統控制能量。

圖4 不同節臂長度時節臂振動響應Fig.4 Vibration response of arms with different arm length

3 試驗研究

為驗證理論模型的正確性，在振動臺上進行雙節懸臂管流固耦合系統動態響應試驗，對比研究節臂2末端實測振動加速度與仿真計算值。為控制設定的基座振動參數，將雙節懸臂管模型夾持在SDS－500型液壓伺服動靜試驗機上，由工控機控制伺服油缸振動位移為 v(t)=0.0015 sin(0.6πt)(m)，加速度傳感器選ARF－20A，采集系統為DH5927。通過定量泵控制流速為U=3.82 m/s。試驗照片見圖5，試驗、仿真結果對比見圖6。由圖6對比分析可知，姿態變化時測試曲線與仿真曲線的峰谷出現時刻基本對應，且曲線變化規律及幅值基本相同，說明該理論模型合理。

圖5 試驗照片Fig.5 Test photos

圖6 加速度計算與測試結果對比圖Fig.6 Acceleration results comparison between calculation and test

4 結論

基于柔性多體動力學與流固耦合動力學理論，利用懸臂輸液管Lagrange方程建立雙節懸臂管流固耦合系統基座振動力學方程，研究節臂姿態、平均流速及節臂長度對流固耦合系統振動影響。結論如下:

(1)節臂姿態與長度變化對雙節懸臂管流固耦合系統振動響應影響顯著。

(2)提高平均流速可增加流體產生的激勵作用，提高雙節懸臂管流固耦合系統振動響應均值，且對水平姿態，具有較高的穩定工作流速。

(3)節臂長度變化影響節臂2約束端振動彎矩，因此進行節臂系統振動控制設計時，優化臂架長度可降低系統控制能量。

(4)通過雙節懸臂管流固耦合系統振動臺試驗與仿真分析對比，驗證所建動力學模型的正確性，該模型可用于雙節懸臂管系統主動控制研究。

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