索－梁耦合結構非線性分析

劉海濤，魏明海，肖儀清，林 坤

(1.哈爾濱工業大學 深圳研究生院，廣東 深圳 518055;2.沈陽建筑大學 營造與工程管理系，沈陽 110168)

索－梁耦合結構應用廣泛。對其進行的傳統分析往往局限于單個結構，即單個索或梁構件［1－5］。索 －梁耦合結構作為整體，系統的非線性行為不僅由索的幾何非線性引起，且亦因索、梁間模態耦合而產生。將索、梁作為整體用于斜拉結構必存在多種內、外共振形式及聯合形式。因此，對該耦合結構非線性響應進行深入研究具有重要意義。

索－梁耦合結構源于Fujino等［6］對斜拉索參數振動的研究，其對模型進行一定簡化，僅考慮梁面內、外及索面內位移3個自由度，將索面外位移通過梁端約束耦合一起。Xia等［7］用解析方法考察拉索在端部隨機位移激勵的響應，采用文獻［6］的3自由度索橋耦合振動簡化模型，由等效線性化方法獲得在主梁上作用豎向白噪聲荷載的系統響應。Fung等［8］通過Hamilton原理建立索－梁耦合時變系統知，拉索張力、長度為隨時間變化的函數。Gattulli等［9－11］研究索 －梁組合結構整體、局部與耦合模態的存在及相互間影響并用試驗及有限元進行驗證。王濤等［12］用拉索非線性解析振動方程與有限元非線性動力時程積分結合方法研究索、梁發生大幅振動的特性表明，拉索局部振動與整體結構相關效應較明顯。趙躍宇等［13－14］研究索－梁耦合結構可能出現的內共振模式，利用數值模擬方法研究該系統因內共振引起的振動行為，并將索－梁耦合結構擴展到索－曲梁耦合結構，研究其面內振動特性。馮維明等［15－16］將索－梁耦合結構作為整體研究其耦合系統振動特性。而對索－梁耦合結構在內外共振聯合激勵下的非線性分析較少，尤其考慮模態耦合影響。為此，本文建立考慮模態相互耦合的索－梁耦合結構面內振動方程;用多尺度法對耦合運動方程進行解耦;并數值分析索－梁耦合結構在內外共振聯合激勵下的非線性特性及系統參數對非線性影響。

1 理論模型建立

索－梁耦合結構簡化模型見圖1。由于研究耦合結構面內非線性特性，故假設條件為:① 不考慮梁的扭矩及大變形;② 不考慮索的抗剪剛度及抗彎剛度;③ 將索的重力垂度曲線近似為為拋物線;④ 用Lagrangian應變描述索軸向伸長;⑤ 索質量遠小于梁質量;⑥ 索、梁變形本構關系服從虎克定律且各點受力均勻。

圖1 索－梁耦合結構模型Fig.1 The model of a cable-beam structure

在以上假設條件下，索－梁耦合結構振動方程組及邊界條件無量綱化后表達形式［17］為

式中:下標1，2分別表示梁、索;ρ，χ，θ分別為索與梁的質量比、剛度比及傾角。

考慮梁、索橫向位移關系，表達式為

式中:φ1(x)，φ2(x)分別為梁、索模態，形式為

利用Galerkin方法對索－梁耦合結構運動微分方程進行一階模態處理，獲得內、外共振聯合激勵下系統二自由度非線性常微分方程為

式中:fij為激勵幅值;ai，bi，ci，aij，bij，aijk，bijk為梁、索Galerkin截斷系數。

由式(5)知，由于梁、索模態相互耦合，即使考慮梁模型是線性的，仍有非線性項(平方項、立方項)存在于梁的振動方程中;而索的振動方程中非線性項較僅考慮索幾何非線性時多。

2 攝動分析

2.1 內外共振模式分析

引入多尺度參數ε，式(5)變換為

設梁、索解的表達式為

將式(6)代入式(7)，合并ε同次項且令各項系數為 0，則有

ε0階:

ε1階:

式(8)解的復數形式為

式中:A1，A2為待定函數分別為A1，A2的復共軛形式。

將式(10)代入式(9)，得

式中:ω1，ω2為梁、索頻率;cc為式(11)中函數共扼項;NST為式(11)中函數非長期項。

由式(11)知，索－梁耦合結構存在多種內、外共振模式，如 ω1=2ω2，ω1= ω2，ω1=ω2/2 的內共振模式;Ω= ω1，Ω =2ω1，…，Ω = ω2，Ω =2ω2，…等外共振模式。通常結構第一階模態占據振動的主要響應，且模態階數越高對結構振動響應貢獻越小。因此，本文僅考慮梁、索各自第一階模態研究索－梁耦合非線性特性。

2.2 振動方程近似解與運動穩定性

2.2.1 外激勵與梁主共振

考慮外激勵與梁主共振時，內、外共振模式關系為

式中:σ1為調頻參數;ε為遠小于1的參數。

將式(12)代入式(11)，并令長期項等于零，得

為求解式(13)，將A1，A2表示成極函數形式，即

將式(14)代入式(13)，并分離實、虛部，整理得

由式(15)知，考慮模態耦合影響的索－梁耦合結構在不同σ1時表現出軟、硬化行為，而σ1值取決于系統的平方及立方非線性項，致耦合系統非線性特性更復雜。

2.2.2 外激勵與索主參數共振

考慮外激勵與索主參數共振時，梁由于1∶2內共振機制會產生亞諧波共振。因此，內、外共振模式關系式可表示為

將式(16)代入式(11)，并令長期項等于零，得復數形式的平均方程為

考慮式(17)，并分離實、虛部，整理得

由式(18)知，外激勵雖作用在梁上，但通過梁、索間內共振機制作用已轉移到索的振動方程，梁此時相當于被動激勵。因此，索的響應較外激勵與梁主共振時大。而在內外共振下，由于索的振動方程中出現阻尼項，若想激發外共振則需較大外界激勵幅值。

3 數值算例分析

由索－梁耦合結構模型圖1，選具有5組不同系統參數耦合模型，模型參數見表1。通過每兩組模型對比分析系統參數對索－梁耦合結構的非線性特性影響。

表1 不同系統參數的索－梁耦合結構Tab.1 The different system parameters of the cable-beam coupled system

3.1 外激勵與梁主共振

考慮梁與索的內共振關系為1∶2，研究外激勵直接作用于梁上且與梁產生1∶1主共振時，系統不同參數對幅頻響應曲線影響。激勵幅值f11=0.005時，系統不同參數對梁、索各自幅頻響應曲線影響見圖2。由圖2看出，梁、索響應在σ1的某些范圍內有多個解，不同系統初始條件均可獲得，但只能是其中的兩個(圖2(a))，雖本文認為梁模型為線性，但其幅頻響應曲線卻表現出非線性特征，即隨激勵頻率變化不同參數系統分別呈剛度軟(系統A、系統B、系統C)、硬化特征(系統D、系統E);而梁的剛度存在從軟化到硬化的轉變現象，盡管該現象僅在系統剛度比參數增加時發生(如系統D、系統E)。值得注意的是，系統剛度比參數增加使梁的幅頻曲線呈硬化特征時，剛度比繼續增加僅對振幅響應有輕微影響。

圖2 索－梁耦合結構不同系統參數對幅頻響應曲線影響Fig.2 Effect of the different system parameters on the frequency-responses of the cable-beam coupled system

外激勵幅值對索－梁耦合結構系統幅頻響應曲線影響見圖3、圖4。其中，圖3以剛度軟化系統B為研究對象，圖4則以剛度硬化系統D為研究對象。與線性結構不同，外激勵幅值大小只改變系統振動幅值，不會引起跳躍;而對非線性結構，當激勵幅值達到一定程度時，系統非線性被激發，呈明顯跳躍現象。由圖3、圖4可知，無論系統處于剛度軟化狀態或剛度硬化狀態，外激勵幅值增大時，系統非線性行為均更顯著，且振幅響應均有明顯增加。

圖3 激勵幅值對系統B幅頻響應曲線影響Fig.3 Effect of the amplitude of excitation on the frequency-responses for the system B

圖4 激勵幅值對系統D的幅頻響應曲線影響Fig.4 Effect of the amplitude of excitation on the frequency-responses for the system D

圖5 索－梁耦合結構不同系統參數對幅頻響應曲線影響Fig.5 Effect of the different system parameters on the frequency-responses of the cable-beam coupled system

3.2 外激勵與索主參數共振

外激勵頻率Ω=2即外激勵與索產生1∶1主參數共振時，系統不同參數對幅頻響應曲線影響見圖5～圖7。

圖6 外激勵幅值對系統B幅頻響應曲線影響Fig.6 Effect of the amplitude of excitation on the frequency-responses for the system B

圖7 外激勵幅值對系統D激勵頻率與響應幅值關系影響Fig.7 Effect of the amplitude of excitation on the frequency-responses for the system D

由圖5(a)知，梁的幅頻響應曲線總處于剛度軟化狀態，且系統質量比及索的軸壓比與等參數對梁幅頻響應曲線均影響明顯，尤其質量比參數增加最顯著:質量比參數增加不僅使響應振幅增大，且使幅頻曲線整體向σ2軸負方向移動(如系統B與系統C對比)。尤其當系統剛度比較大時(如系統D、系統E)，梁的幅頻響應完全消失，說明梁、索作為整體結構應用時，外激勵與索作主參數共振情況僅在系統剛度比參數較小時發生。由圖5(b)知，索的幅頻響應曲線仍有兩個尖峰，但不同于圖2(b)內容，無論系統參數如何變化兩個尖峰均保持同一趨勢，說明索的振動行為仍受梁振動影響，但其影響程度較弱，使索的振動行為支配系統振動行為。由圖5看出，系統的質量比、索的垂跨比及軸壓比等參數對索的幅頻響應曲線影響類似梁的影響，區別在于，增加質量比參數會使索能在更大共振頻率范圍內產生非線性行為，如系統B與系統C的對比。此外，對系統剛度比參數影響，索的幅頻曲線隨剛度比增加出現從剛度硬化到軟化的轉變現象，較圖2(b)內容，可清楚發現兩者的剛度轉變現象完全相反，后者隨剛度比增加較大尖峰發生從剛度軟化到硬化狀態轉變，如系統B與系統D的比較。

基于上述現象，以索的剛度變化趨勢為指向，外激勵幅值對索－梁耦合結構系統幅頻響應曲線影響見圖6、圖7。其中，圖6以剛度硬化系統B為研究對象，圖7以剛度軟化系統D為研究對象。由圖6、圖7知，無論系統中索的剛度處于軟化狀態或硬化狀態，當外激勵幅值增大時，系統中梁與索的非線性行為均趨向于更顯著，且振幅響應均有明顯增加。對比圖4、圖6知，索－梁耦合結構在外激勵與索作主參數共振時，欲使振幅響應達到與外激勵與梁主共振級別，激勵幅值需增大104倍。

4 結論

研究內、外共振聯合激勵下索－梁耦合結構的非線性特性，利用多尺度法分析系統可能存在的多種內、外共振模式?？紤]索、梁間模態具有1:2內共振關系下，對外激勵與梁發生主共振及與索發生主參數振動時的對應工況分別進行攝動分析，獲得系統四維極坐標形式的平均方程，結論如下:

(1)荷載僅作用在梁上時，索－梁耦合結構由于模態耦合影響，存在兩種外共振機制，即荷載與梁外共振及荷載與索外共振，兩種外共振均能使系統振動呈非線性行為，后者所需激勵幅值較前者大104倍。

(2)無論荷載與梁發生主共振或與索發生主參數共振，即使考慮梁為線性模型，由于梁與索相互耦合振動影響，梁仍表現出多解、不穩定及跳躍等非線性行為;盡管只考慮索的一個模態，但其非線性行為呈現雙模態特征，即兩個幅頻曲線。對前者外共振，索的最大響應總與梁的響應保持一致;而對后者外共振，該一致性消失，且隨激勵幅值增加非線性行為愈顯著。

(3)荷載與梁作主共振時，索的垂跨比及系統質量比對梁的非線性影響微小，但卻能顯著影響索的非線性行為;系統剛度比增加會使梁發生從剛度軟化到硬化狀態轉變。此時索的非線性行為將產生兩次跳躍現象;荷載與索發生主參數共振時系統質量比對索的影響較索的垂跨比影響更顯著;系統剛度比較大時梁的非線性完全消失，索發生從剛度硬化到軟化轉變。

(4)鑒于剛度比參數對索－梁耦合結構有重要影響，建議對索－梁耦合結構進行振動控制時應避免用增加剛度策略或應盡量減小因控制措施造成的系統剛度變化，否則將有可能引起結構更復雜的振動行為。

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