指定頻帶簡諧激勵下約束阻尼結構拓撲優化

房占鵬，鄭 玲，唐重才

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

在航空航天領域，為減輕結構質量大多采用薄板類構件，因而導致振動噪聲問題。約束阻尼處理技術能有效抑制結構寬頻振動噪聲，由于對原結構改變少，易于實施，廣泛用于輕型結構的減振降噪。約束阻尼材料通常覆蓋整個結構表面，不僅增加結構的附加質量，且不利于約束阻尼材料的高效利用。由于結構動力學拓撲優化獲得長足進步，為約束阻尼材料在輕質結構振動噪聲抑制的高效利用提供科學手段。

約束阻尼結構的拓撲優化大多以模態損耗因子(或模態阻尼比)為優化目標。郭中澤等［1］采用密度法(Pseudo－density Method)及有理逼近材料特性模型(RAMP)，以模態損耗因子最大化為目標，利用優化準則法，獲得一定約束條件下阻尼材料的最優分布構型。呂毅寧等［2］采用模態應變能方法計算模態損耗因子靈敏度，對車身地板的阻尼材料進行優化設計。Zheng等［3］以模態阻尼比最大化為目標，采用移動漸近線算法(MMA)對約束阻尼板進行優化，認為移動漸近線算法對約束阻尼圓柱殼優化求解效果較好。Ansari等［4］采用水平集方法對懸臂板上約束阻尼材料進行拓撲優化，獲得約束阻尼材料的最佳構型，并實驗驗證優化結果的正確性。Kim等［5］對比振型法(MSO approach)、應變能分布法(SED method)與拓撲優化算法獲得優化結構的模態損耗因子發現，基于有理逼近的材料特性模型(RAMP)及優化準則(OC)拓撲優化方法獲得拓撲構型較其它兩種方法所得優化結果的模態損耗因子最大值高61.4%。柳承峰等［6］用漸進優化算法對約束阻尼短圓柱殼的約束阻尼結構進行優化，獲得約束阻尼材料優化布局，并試驗驗證優化結果的正確性。

近年來，以結構動力響應為目標的動力學拓撲優化，以其良好的工程實用性及設計針對性成為結構拓撲優化研究熱點。Yoon等［7］對模態疊加法、里茲向量法(Ritz Vector)及準靜態里茲向量法(Quasi－Static Ritz Vector)3種縮減方法對簡諧激勵下動力學拓撲優化的適用性進行分析比較;彭細榮等［8］應用結構拓撲優化獨立連續映射(ICM)方法，對強迫諧振動下以重量最小為優化目標、位移幅值為約束的板殼結構拓撲優化進行研究;Rong等［9－10］研究了白噪聲激勵作用下以結構減重為設計目標、指定位置均方響應為約束的拓撲優化設計問題。Shu等［11］以結構某位置頻率響應最小為優化目標，以材料使用量為約束條件，采用水平集方法對2D及3D結構進行頻率響應優化;李翔等［12］以頻帶內模態峰值響應的q－范數為優化目標，推導出目標函數靈敏度;增加頻率約束可避免迭代過程中密頻、重頻現象出現，并對桁架結構截面、形狀進行優化。劉虎等［13］研究簡諧力激勵下以結構指定位置穩態階段位移響應幅值為目標函數、結構體積為約束的拓撲優化設計。上述研究主要集中在結構優化方面，且優化過程中將結構阻尼視為定值，由于結構阻尼變化不大，故此近似帶的誤差亦不大。但對約束阻尼結構而言，將結構阻尼視為定值則會致較大誤差，甚至出現錯誤結果。

由于約束阻尼技術廣泛用于薄殼類輕質結構，如航空發動機零部件及大型空間柔性結構的振動阻尼抑制等，研究以動響應為目標的約束阻尼結構動力學拓撲優化，對推進其設計具有重要意義。本文以指定頻帶激勵下振動響應峰值平方最小化為優化目標，約束阻尼材料用量為約束條件，建立約束阻尼結構的拓撲優化模型，考慮結構模態阻尼比在優化迭代過程中的變化，將模態阻尼比靈敏度引入優化目標靈敏度計算。采用漸進優化算法，通過逐步刪除約束阻尼材料中靈敏度最大單元，使保留的單元具有最大減振效果，以達到對約束阻尼材料優化配置目的。

1 結構振動方程求解

簡諧激勵下結構振動方程為

式中:M，C，K分別為質量、阻尼、剛度矩陣，均為N×N階實對稱矩陣，N為結構自由度數;f(t)=F eiωft為激勵力矢量，F為激勵力幅值矢量，ωf為激勵頻率;X分別為結構位移、速度、加速度矢量。

在經典阻尼情況下，方程(1)可轉換為

式中:ωi，ζi分別為第 i階圓頻率及模態阻尼比;［φ1，φ2，…，φn］為振型矩陣;yi，qi分別為模態坐標下結構位移、激勵力。

據模態疊加法，結構幅頻響應表達式為

式中:m為模態截斷階數。

設結構為非密集模態、無重頻、小阻尼，當激勵頻率ωf接近共振頻率ωi時，結構第i階共振頻率處響應為

2 約束阻尼結構拓撲優化

2.1 拓撲優化模型

當約束阻尼結構受頻帶［ωl，ωh］簡諧激勵，在頻帶內存在一個或多個共振頻率，則共振峰值為X(ωi)。結構動力學拓撲研究中，常以動柔度為優化目標［14－15］，優化整個結構的動力學響應。而實際工程應用中，某些部位的頻率響應尤為其重要。本文以激勵頻段內結構指定位置的共振峰值平方最小化為優化目標，約束阻尼材料用量為約束條件，約束阻尼單元為設計變量建立拓撲優化模型為

式中:pe為設計變量，取0或1;pe=0為刪除的結構表面覆蓋約束阻尼單元，為避免出現奇異矩陣，宜用極小值;pe=1為結構表面覆蓋約束阻尼單元;a為頻帶內所含共振峰值數量;b為優化目標點數;wi為各峰值疊加系數;V0為約束阻尼材料用量體積;Ve為每個約束阻尼單元體積。

2.2 靈敏度分析

求解拓撲優化模型時采用基于目標函數梯度的迭代方法，需求解目標函數靈敏度表達式。以往以動力響應為優化目標的拓撲優化中常將模態阻尼比定義為定值，未考慮模態阻尼比靈敏度對目標函數靈敏度分析影響，目標函數靈敏度表達式為

考慮對約束阻尼結構優化過程中，約束阻尼結構變化對模態阻尼比影響較大，在已有研究基礎上將模態阻尼比靈敏度引入目標函數靈敏度分析中，改進目標函數靈敏度表達式。改進后表達式為

式中:

模態阻尼比與模態損耗因子關系［16］為

當0≤η≤0.3時，模態損耗因子與模態阻尼比的關系可近似為

據應變能法［17］，得第i階模態損耗因子為

式中:ηv為阻尼材料損耗因子分別為第i階阻尼層應變能及約束阻尼結構總應變能分別為第i階j單元基層、阻尼層、約束層應變能。

將式(9)～式(11)代入式(7)可得未考慮模態阻尼比靈敏度的目標函數靈敏度;將式(9)～式(11)、(15)代入式(8)可得考慮模態阻尼比靈敏度的目標函數靈敏度。

為抑制拓撲優化過程中出現棋盤格現象，采用網格獨立濾波技術［18］對目標函數靈敏度濾波，即對目標函數靈敏度再分配，使單元靈敏度等于以單元形心為中心的指定半徑區域內所有單元靈敏度的加權值。

2.3 漸進優化算法拓撲流程

采用漸進優化算法對拓撲優化模型進行求解，拓撲優化流程見圖1。具體優化步驟為:①將約束阻尼材料覆蓋于基層結構表面構建全覆蓋的約束阻尼結構，并建立有限元模型。將約束阻尼單元(阻尼層單元與其對應的約束層單元)定義為設計變量pe，初始值均為1。②設定約束阻尼材料體積約束量V0、進化率ER及模態截斷數等優化相關參數。③對約束阻尼有限元模型進行模態分析，提取約束阻尼單元質量、剛度矩陣、模態阻尼比、模態振型及固有頻率等參數。④據目標函數靈敏度公式計算每個約束阻尼單元靈敏度，并用網格獨立濾波技術對單元靈敏度濾波。⑤計算下一步迭代的約束材料目標體積，當該體積Vk+1大于設定的體積約束V0時計算式為Vk+1=Vk(1－ER);當Vk+1≤V0時，使Vk+1=V0。據Vk+1確定刪除單元門檻值。⑥刪除靈敏度值大于刪除單元門檻值的約束阻尼單元，將其設計變量pe值由初始值1變為極小值。⑦重復③～⑥，直至滿足約束阻尼材料體積約束條件，結束迭代。

圖1 拓撲優化流程圖Fig.1 Diagram for the topology optimization procedures

3 算例分析

3.1 約束阻尼懸壁板拓撲優化

懸臂約束阻尼板結構見圖2，基板為鋁板，其上覆蓋約束阻尼材料。基板長0.2 m，寬0.1 m，厚0.0008 m，密度2800kg/m3，彈性模量70 GPa，泊松比0.3。阻尼層厚度 0.00005 m，密度 1200kg/m3，彈性模量12 MPa，泊松比 0.495，阻尼材料損耗因子 0.5。約束層厚 0.00013 m，密度 2700kg/m3，彈性模量 70 GPa，泊松比0.3。左端固定，右端自由。

簡諧載荷作用于右邊界中心即B點，幅值為1 N，激勵頻帶為［10～40］Hz。在激勵頻段內包含一階固有頻率，取激勵點(B點)一階共振峰值平方最小為優化目標，以約束阻尼材料用量全覆蓋的50%為約束條件，分別采用考慮、未考慮模態阻尼比靈敏度目標函數靈敏度計算公式，所得拓撲構型分別見圖3、圖4。圖中淺色為基板，深色為優化的約束阻尼材料拓撲構型;一階頻率、模態阻尼比及優化目標隨迭代次數變化分別見圖5～圖7。優化前后一階頻率、模態阻尼比及優化目標值對比見表1。表1中變化率計算式為

圖3 考慮模態阻尼比靈敏度的拓撲構型Fig.3 The topology optimization result with considering the modal damping ratio sensitivity

圖4 未考慮模態阻尼比靈敏度的拓撲構型Fig.4 The topology optimization result without considering the modal damping ratio sensitivity

圖5 一階頻率迭代歷程Fig.5 Iteration history of the firstorder frequency

圖6 模態阻尼比迭代歷程Fig.6 Iteration history of modal damping ratio

圖7 優化目標迭代歷程Fig.7 Iteration history of optimization objective

表1 優化前后模態阻尼比與優化目標對比Tab.1 The modal damping ratio and optimization objective before and after optimization

由圖5～圖7看出，考慮模態阻尼比靈敏度的拓撲優化算法，隨約束阻尼材料刪除，結構固有頻率先增大后(12次迭代后)逐漸減小，模態損耗因子增幅較大，而優化目標逐漸減小，結構模態損耗因子的逐漸增加為優化目標減小的主要因素。未考慮模態阻尼比靈敏度的拓撲優化算法，隨約束阻尼材料刪除，結構固有頻率幅度增大，模態損耗因子逐漸增大，而優化目標逐漸減小，結構固有頻率逐漸增大為優化目標減小的主要因素。

在相同激勵條件下，以A，B，C點的一階共振峰值平方及最小為優化目標，以約束阻尼材料用量為全覆蓋的50%為約束條件，分別采用考慮、未考慮模態阻尼比靈敏度的目標函數靈敏度計算公式，獲得拓撲構型及頻率、模態阻尼比隨迭代次數變化與以激勵點一階共振峰值平方最小為優化目標的結果相同。優化目標隨迭代次數變化見圖8，變化趨勢同圖7。優化前后優化目標分別為0.01 m2，0.0027 m2，0.00065 m2。原因為:對未考慮模態阻尼比靈敏度的優化方法，約束阻尼結構固有頻率是使優化目標減小的主要因素;而對考慮模態阻尼比靈敏度優化方法，約束阻尼結構模態阻尼比是使優化目標減小的主要因素，而約束阻尼結構固有頻率及模態阻尼比不受響應點位置影響。

圖8 優化目標迭代歷程Fig.8 Iteration history of optimization objective

由算例看出，本文考慮模態阻尼比靈敏度的拓撲優化算法所得拓撲構型的優化目標值明顯低于未考慮模態阻尼比靈敏度時優化目標值。表明在激勵頻段內僅有單共振峰時該拓撲優化算法的正確性、有效性。

3.2 四邊固定約束阻尼板拓撲優化

圖9為約束阻尼矩形板，四邊固定，長、寬分別為0.6 m、0.4 m，基板為鋼板，厚度 0.0015 m，密度 7860kg/m3，彈性模量212 GPa，泊松比0.3。約束阻尼材料厚度及力學參數與上例相同。簡諧載荷作用于約束阻尼矩形板中心，幅值1 N，激勵頻帶［0～100］Hz。在激勵頻帶內含一、二階固有頻率，故取激勵點處一、二階共振峰平方的加權最小為優化目標，加權系數可據各階共振峰值大小及實際應用時關注的共振頻率選取。此處選加權系數w1=w2=0.5，約束阻尼材料用量為全覆蓋的50%為約束條件，分別采用考慮、未考慮模態阻尼比靈敏度目標函數靈敏度計算公式，所得優化結果見圖10、圖11，圖中淺色為基板，深色為優化的約束阻尼材料拓撲構型。加權頻率(w1ω1+w2ω2)、加權模態阻尼比(加權模態阻尼比計算方法)為(w1ζ1+w2ζ2)及優化目標隨迭代次數變化分別見圖12～圖14。優化前后加權頻率、加權模態阻尼比及優化目標值對比見表2。表中變化率計算式為

圖9 四邊固定約束阻尼板Fig.9 The clamped supported constrained layer damping plate

圖10 考慮模態阻尼比靈敏度拓撲構型Fig.10 The topology optimization result with considering the modal damping ratio sensitivity

圖11 未考慮模態阻尼比靈敏度拓撲構型Fig.11 The topology optimization result without considering the modal damping ratio sensitivity

表2 優化前后模態阻尼比與優化目標對比Tab.2 The modal damping ratio and optimization objective before and after optimization

由圖12看出，在優化過程中，隨約束阻尼材料的刪除，兩種拓撲優化算法所得拓撲構型的加權頻率均逐漸減小。由圖13、圖14看出，在頻段內具有多共振峰的優化及僅有單共振峰的優化相似。優化過程中，隨約束阻尼材料的刪除，兩種拓撲優化算法所得拓撲構型的加權模態阻尼比均有所增加，而優化目標值均有所減小。此外，本文的考慮模態阻尼比靈敏度優化算法所得拓撲優化構型較未考慮模態阻尼比的優化目標值小。說明本文優化算法對頻段內具有多共振峰的優化亦有效。

圖12 加權頻率迭代歷程Fig.12 Iteration history of the weighted frequency

圖13 加權模態阻尼比迭代歷程Fig.13 Iteration history of the weighted modal damping ratio

圖14 優化目標迭代歷程Fig.14 Iteration history of optimization objective

4 實驗驗證

為驗證優化算法與靈敏度分析的正確性，對約束阻尼懸壁板以激勵點處一階共振峰平方最小為優化目標的拓撲優化結果進行實驗驗證。粘貼約束阻尼材料前對鋁板待粘貼表面用異丙醇清洗去除油污。粘貼時保證鋁板及約束阻尼材料溫度不低于15.5℃(50℃最適宜)，從約束阻尼材料一端逐步粘貼整個表面，防止粘貼時起泡影響效果。粘貼后壓緊約束阻尼材料，以獲得更好粘貼效果。3種約束阻尼懸臂板試件見圖15。

圖15 實驗件Fig.15 The CLD plates using in the tests

用錘擊法分別測量全覆蓋約束阻尼懸臂板及兩種拓撲優化的約束阻尼懸臂板一階頻響函數。用PCB公司086C03型力錘進行激勵、基恩士公司LK－H080型激光位移傳感器測量懸臂板振動位移響應，激勵點、響應點與算例中激勵點、響應點位置相同，均在懸臂端中間。信號采集、分析系統為LMS公司數據采集箱及LMS模態分析軟件。實驗測試見圖16，測試結果見圖17，3種約束阻尼板一階頻率、模態損耗因子及響應峰值見表3。

圖16 實驗測試圖Fig.16 The experimental setup

圖17 實驗頻響對比Fig.17 The comparison of experimental frequency response

表3 三種約束阻尼板一階頻率、模態阻尼比及響應峰值對比Tab.3 Comparison of the first order frequencies，modal damping ratio and peak response of three CLD plates

5 結論

(1)通過研究指定頻段激勵下約束阻尼結構的拓撲優化問題，建立以指定頻段激勵內共振峰值平方最小化為優化目標、約束阻尼材料用量為約束條件的拓撲優化模型。

(2)考慮約束阻尼結構在優化過程中模態阻尼比變化較大，而結構模態阻尼比對共振峰值有較大影響，將模態阻尼比靈敏度添加到目標函數靈敏度分析中，并采用漸進優化算法對約束阻尼板結構進行優化。

(3)利用考慮模態阻尼比靈敏度分析及優化算法，能使約束阻尼結構模態損耗因子增大，優化目標減小，優化效果更好。并通過實驗進一步驗證該方法的正確性及有效性。

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