基于一道中考填空題另解的收獲

●李玉榮 (金陵中學河西分校 江蘇南京 210019)

基于一道中考填空題另解的收獲

●李玉榮 (金陵中學河西分校 江蘇南京 210019)

《中學數學(初中版)》2014年第11期刊載了潘學軍老師的文章“以問題為導向的個別答疑探究”.該文對一道幾何題(2012年廣東省深圳市數學中考題)的答疑實錄十分詳實，讀來受益匪淺.同時，筆者也饒有興趣地研究了此題的解法，得到一個更簡單的實用解法，既開拓了學生的解題思路，也可以讓學生跳出題海，體驗波利亞在《怎樣解題》中告誡的“你能在別的什么題目中利用這個結果或這種方法嗎”，從而提高學生學習數學的效能.

圖1

圖2

題目 如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，以AB為一邊向外作正方形ABDE，聯結AD，BE交于點，求BC的長.

解 如圖2，將△OBC繞點O順時針旋轉90°得到△OAF，則

因為 ∠ACB+∠AOB=180°，

所以 ∠OAC+∠CBO=180°，

從而 ∠OAC+∠FAO=180°，

于是 BC=AF=12－5=7.

例1 1)如圖3，正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，延長CD到點G，使DG=BE，聯結EF，AG.求證:EF=FG.

圖3

圖4

2)如圖4，等腰 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN=45°.若BM=1，CN=3，求MN的長.

(2014年浙江省紹興市數學中考試題)

圖5

1)略;

2)解 如圖5，將△ABM繞點A逆時針旋轉90°得到△ACE，聯結EN，則

BM=CE，AM=AE，

∠BAM=∠CAE，

∠ACE=∠ABC=45°，

從而 ∠NCE=∠ACB+∠ACE=90°，

于是 EN2=EC2+NC2.

又因為∠BAC=90°，∠MAN=45°，所以

∠BAM+∠CAN=45°.

于是 ∠EAN=∠MAN=45°.

在△MAN和△EAN中，由 AM=AE，∠MAN=

∠EAN，AN=AN，知

△MAN≌△EAN(SAS)，

得MN=EN，

從而 MN2=BM2+NC2，

評注 這是由一道經典幾何題改編的中考題，注意到∠BAC=90°，AB=AC，通過旋轉可以將分散的條件集中在一個直角三角形中，問題得解.

例2 如圖6，在四邊形 ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為_______.

(2014年湖北省武漢市數學中考試題)

圖6

圖7

解 如圖7，將△ABD繞點A順時針旋轉90°得到△ACD'，聯結DD'，則BD=CD'，AD'=AD=4，∠DAD'=∠CAB=90°，從而

∠ADD'=45°，

評注 此題所求線段BD不在直角三角形中，無法直接求解，注意到∠BAC=90°，AB=AC，通過旋轉可以將分散的條件集中在一個直角三角形中，問題得解.

圖8

圖9

例3 已知:如圖8，在正方形ABCD中，BM，DN分別平分正方形的2個外角，且滿足∠MAN= 45°，聯結MN.

1)若正方形的邊長為a，求BM·DN的值;

2)若以BM，DN，MN為3條邊圍成三角形，試猜想三角形的形狀，并證明你的結論.

(2014年山東省菏澤市數學中考試題)

1)略;

2)證明 以線段BM，DN和MN為3條邊圍成的三角形是直角三角形.下證明之.

如圖9，將△AND繞點A順時針旋轉90°得到△ABF，聯結MF，則∠1=∠3，AF=AN，BF=DN，∠AFB=∠AND，從而

∠MAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD－∠MAN=45°，

于是 ∠MAF=∠MAN.

又因為 AM=AM，

所以 △AMF≌△AMN，

從而 MF=MN，

可得 ∠MBF=(∠AFB+∠1)+45°= (∠AND+∠3)+45°=90°.

因此在Rt△BMF中，BM2+BF2=FM2，從而 BM2+DN2=MN2，

于是以線段BM，DN和MN為3條邊圍成的三角形是直角三角形.

評注 猜想三角形的形狀，需將線段BM，DN，MN“移植”到一個三角形中，注意到∠BAD=90°，AB=AD，通過旋轉可以將分散的條件集中在一個直角三角形中，問題得解.

(2014年重慶市數學中考試題)

解 如圖10，聯結CG，易證

圖10

△EBC≌△GDC(SAS)，可得△ECG為等腰直角三角形.又CF⊥EG，得

CH=BH=GH.

將△HEB繞點 H逆時針旋轉90°得到△HCM，又

由△GFH∽△GEA，得

評注 此題難度很大，如何使用條件BH=8是關鍵，在證明EH=CH后，通過旋轉使分散的條件集中到一個直角三角形中，問題得解.

習題教學中，學生“做一題”，意在“會一類”，最終是“通一片”，也就是獲得通法通解.通法通解是學生認知網絡中不可缺少的一部分，它生成于學生知識的應用過程，對學生知識的遷移和能力的提升非常關鍵.解題不能只重結果——把思維僅僅停留在問題的解決上，要盡可能地引導學生悟出通性、通法，通過題目的變式、題組的甑選，將零散的問題恰當地組合，探究知識之間的聯系，提煉、積累解題的方法，并努力尋求最佳的解法，使學生的數學思維能力在正遷移上得到新的發展.

從原問題的另解我們找到了一種方法——“旋轉法”，再通過4道中考題解法的探究，旨在讓學生知道利用圖形的旋轉是解決正方形(或等腰直角三角形)問題的通性、通法.旋轉法就是在圖形具有“公共端點的相等線段且其夾角為特殊角”的特征時，可以把圖形或圖形的一部分繞公共端點旋轉到另一位置的一種輔助線的方法:1)旋轉變換的實施條件——共端點(旋轉中心)、等線段(確保移動一邊能與另一邊重合)、等線段共端點的2條邊的夾角為特殊角(旋轉角，一般為45°，60°，90°);2)旋轉變換的實施對象——將已知的2條等線段分別所在的現有三角形(2條等線段所組成的三角形除外)、或將已知的2條線段分別與第3個頂點構成的三角形之中的一個三角形先進行旋轉，并確保旋轉前后的2個三角形中的已知等線段互相重合;3)旋轉變換的實施功效——由于旋轉前后的2個三角形重合、全等，這為邊、角的等量代換轉移位置提供了方法，同時為旋轉、聯結之后的全等證明提供了思路，最終為解決問題創造了一個關鍵條件.

綜合性幾何題的困難主要集中在2個方面:一是怎樣作輔助線;二是怎樣探索證題思路.而旋轉變換的思想方法就能較好地解決這2個問題.旋轉與之前的平移、軸對稱相比，在發展學生空間想象能力、學生幾何直觀能力等方面具有獨特的優勢.此外，從教材到相應的教師教學用書，并沒有真正體現出“旋轉法”應有的功能，導致學生缺失從“旋轉法”的視角去分析、思考幾何綜合題的意識.因此，幫助學生學會、學透“旋轉法”，并能自覺地嘗試優先從“旋轉法”的視角去分析、思考幾何綜合題，進而提高解決幾何綜合題的能力，并在此基礎上進一步夯實數學基礎知識，應成為教師的自覺行動!

［1］ 潘學軍.以問題為導向的個別答疑探究［J］.中國數學教育:初中版，2014(11):18-22.

［2］ 李曉華.對圖形旋轉問題的探究與思考［J］.中國數學教育:初中版，2010(9):23-24.