探析一道高考數學題的背景與教學啟示

●張金良 (浙江省教育廳教研室 浙江杭州 310012)

探析一道高考數學題的背景與教學啟示

●張金良 (浙江省教育廳教研室 浙江杭州 310012)

縱觀2015年全國各地的數學高考卷，其中湖北省的數學卷十分搶眼:試題依托數學史料，鑲嵌入數學名題，引人矚目，出自《九章算術》中的陽馬、鱉臑令考生廣為熱議，試卷中的壓軸題內涵豐富、背景深刻，難倒了許多考生，從而吸引了眾多師生去研究，也深深地吸引了筆者.為了幫助廣大師生弄清楚試題的背景，看清試題的本質，現撰文介紹，以供參考.

1 背景解讀與解答

題目 已知數列{an}的各項均為正數，e為自然對數的底數.

1)求函數f(x)=1+x－ex的單調區間，并比較與e的大小;

本題是一道遞進式綜合題，前2個小題的設問為第3)小題作鋪墊.第3)小題等價于:已知數列{an}的各項均為正數，證明

這是著名的有限項Carleman不等式:設an＞0，n∈N+，且收斂，則本題基于此編制而成，可見命題者的高等數學視野.迄今為止，Carleman不等式有了許多加強形式，大多數的研究集中于改進Carleman不等式的上界，改進下界的研究相對較少，其中結論較為優美且又貼近中學數學教學的有以下幾個結論:

這些結論的證明有一定的難度，讀者不妨查閱參考文獻［4］.

現在回到湖北省高考題等價的有限項Carleman不等式，下面給出2種證明.

證法1通過待定系數法，構造一組實數去改變原式的結構，然后利用均值不等式與的有界性進行證明.

證法2 首先證明以下命題

即證.

k由于xk可視作與p無關，因此令p→∞，得

于是可得有限項Carleman不等式.

通過證明，不難發現只要令n→∞，就可得無限項Carleman不等式.

2 教學啟示

以歷史名題直接改造成高考試題在當前高考命題中并不多見，我們暫且不討論其公平性，其教學的導向是鮮明的，啟示也是深刻的.在當前的高中教學中，教師“教什么”比“怎么教”顯得更為重要，教師若以教輔資料為依據，死做題目，則所教學生很難在高考中突破創新題，其結果是師生雙方均精疲力盡，效果平平.

事實表明:高考復習時要轉變觀念開闊視野，不僅要關注常規題，而且要關注教材、關注數學史料，甚至是歷史名題.教師培訓除了在提升教師的理論素養、課堂教學藝術等方面下功夫外，還應該在學科底蘊的厚實上下功夫，使教師有足夠的功力看透題目的背景，教學時能站到一定的高度俯視數學，以達到輕負高質之效果.

［1］ 陳超平，祁鋒.關于Carleman不等式進一步加強［J］.大學數學，2005(4):89-90.

［2］ 張小明，褚玉明.解析不等式新論［M］.哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社，2009.

［3］ 錢偉茂，鄭寧國.有限項Carleman不等式的加強［J］.北京聯合大學學報:自然科學版，2010，24(9): 62-67.

［4］ 金小萍.Carleman不等式的新加強［J］.浙江師范大學學報:自然科學版，2009，32(2):143-146.