對一道2015年上海市數學高考解析幾何題的探究

●譚孫濤 (四川音樂學院附屬中等藝術學校 四川成都 610021)

對一道2015年上海市數學高考解析幾何題的探究

●譚孫濤 (四川音樂學院附屬中等藝術學校 四川成都 610021)

2015年上海市數學高考理科第21題如下:

題目 已知橢圓x2+2y2=1，過原點的2條直線l1和l2分別與橢圓交于點A，B和C，D.記得到的?ABCD面積為S.

1)設A(x1，y1)，C(x2，y2)，用A，C的坐標表示點C到直線l1的距離，并證明:S=2|x1y2－x2y1|;

2)設l1，l2的斜率之積為，求S的值.

筆者將重點分析第2)小題.

思考1 解決直線與橢圓的交點問題，常規方法為設直線方程，求出交點的坐標.

解法1 設直線l1，l2的方程分別為y=k1x，y=k2x.顯然點A，C不在y軸上，設x1＞0，x2＞0.由同理可得從而

思考2 在解法1中，將S的表達式平方后再變形更簡單.

思考3 以點A，C的坐標x1，x2，y1，y2為參數，先利用斜率之積得到x1，x2，y1，y2的關系，再結合設而不求的思想解決.

解法3 由l1，l2的斜率之積，得x x=－2y y.由點A，C在橢圓上，得1212

思考4 考慮橢圓的參數方程，從三角函數的變形入手.

化簡得cos(α－β)=0，此時|sin(β－α)|=1，從而

思考5 通過坐標變換，將直線與橢圓的交點問題，轉化為直線與圓的交點問題，更容易解決.

由l1，l2的斜率之積，得，即直線l1'，l2'的斜率kl1'kl2'=－1.從而直

線l1'⊥l2'，此時?A'B'C'D'是圓x'2+y'2=1的內接正方形，S'=2.又因為所以

總結 要想順利解決解析幾何問題，選擇合理方法，避免冗長、復雜的計算是關鍵.筆者認為，在以上5種解法中:前3種方法更常規，但對代數變形的要求較高;后2種方法“生僻”一些，但計算量小，過程簡潔，特別是解法4，很值得向學生推薦.

探究 完成本題后可以發現，對橢圓x2+2y2=1，當直線l1，l2的斜率之積為時，?ABCD的面積S是定值.那么橢圓方程中a，b的值、直線l1，l2的斜率之積、面積S這3者之間有何關系?對任意橢圓=1(其中a＞0，b＞0)，是否存在實數λ，使得當l1，l2的斜率之積為λ時，S是定值呢?

通過對題目所蘊含的深層次關系進行分析，筆者得到了以下結論:

結論1 過原點的2條直線l1和l2分別與橢圓=1(其中a＞0，b＞0)交于點A，B和C，D，記?ABCD的面積為S.當l1，l2的斜率之積為時，S為定值2ab.

證明 設A(a cosα，b sinα)，B(a cosβ，b sinβ).直線l1，l2的斜率之積為

化簡得cos(α－β)=0，此時|sin(α－β)|=1，從而

結論2 過原點的2條直線l1和l2分別與橢圓1(其中a＞0，b＞0)交于點A，B和C，D，l，l12

的斜率存在且kl1kl2=λ，記?ABCD的面積為S.

2)當λ≥0時，0＜S＜2ab.

證明 設直線l1，l2的方程分別為y=k1x，y=k2x，點A(x1，y1)，C(x2，y2)(其中 x1＞0，x2＞0).由得，從而同理可得.于是

2)當λ≥0時，設k1＞0，k2＞0，則(k2－k1)2＞0，從而，即0＜S＜2ab.

由式(2)可知，若直線l1，l2的斜率存在，則當且僅當時，?ABCD的面積S為定值.