例談函數(shù)問題在數(shù)學(xué)中的意義和作用

●許欽彪 (稽山中學(xué) 浙江紹興 312000)

例談函數(shù)問題在數(shù)學(xué)中的意義和作用

●許欽彪 (稽山中學(xué) 浙江紹興 312000)

函數(shù)是數(shù)學(xué)的主干知識，函數(shù)思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，函數(shù)知識、函數(shù)方法、函數(shù)應(yīng)用貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)體系和教學(xué)過程，也是數(shù)學(xué)高考的重要考點(diǎn).全國和各省、市每年的數(shù)學(xué)高考試題中，除了約占13%的純函數(shù)方面試題外，還有許多其他內(nèi)容的考題需要用到函數(shù)思想和方法.因而，在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須高度重視函數(shù)及其思想、方法、技能的教學(xué)、培養(yǎng)和應(yīng)用訓(xùn)練，使學(xué)生能牢固掌握、靈活應(yīng)用并與其他數(shù)學(xué)知識自覺結(jié)合.

中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、正(反)比例函數(shù)及指(對)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等初等函數(shù).函數(shù)題型主要有函數(shù)知識應(yīng)用，以及函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì)應(yīng)用，求函數(shù)解析式，求函數(shù)最值，求函數(shù)零點(diǎn)，函數(shù)圖像應(yīng)用，函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其他數(shù)學(xué)知識結(jié)合應(yīng)用，含有字母參數(shù)的函數(shù)問題等.函數(shù)問題經(jīng)常作為考查數(shù)學(xué)思維、邏輯推理、類比歸納、嚴(yán)謹(jǐn)運(yùn)算、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)能力的一種綜合考查題，而且有些省、市近2年導(dǎo)數(shù)不作為必考要求，因此函數(shù)圖像性質(zhì)的應(yīng)用更為重要與必要.本文就這類問題舉例說明這方面的能力培養(yǎng)，期望同行們的參與討論.

例1 設(shè)x1，x2為函數(shù)f(x)=ax2+(b－1)x+ 1(其中a＞0)的2個(gè)不同的零點(diǎn).

1)若x1=1，且對任意x∈R，都有f(2－x)= f(2+x)，求f(x).

2)若b=2a－3，則關(guān)于x的方程f(x)=|2xa|+2是否存在負(fù)根?若存在，求出該負(fù)根的取值范圍;若不存在，說明理由.

3)若 a≥2，x2－x1=2且當(dāng) x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)=－f(x)+2(x2－x)的最大值為h(a)，求h(a)的最小值.

分析 這是一類常見的含有字母參數(shù)的二次函數(shù)問題，因?yàn)槎螁栴}是二次函數(shù)、二次圖像、二次方程、二次不等式的結(jié)合問題，涉及的知識方法較多，又在二次曲線(圓錐曲線)等其他問題上有廣泛應(yīng)用，所以這類問題具有典型性和代表性.

1)這是較簡單的根據(jù)條件求待定字母的問題.

由條件f(2－x)=f(2+x)，得對稱軸為

又f(1)=0，

2)這是探索性問題.要充分注意到“負(fù)根”這個(gè)條件提示，才能得到正確的解決方法.因?yàn)閍＞ 0，注意到|2x－a|，若x≥，則x＞0不必考慮.所以x＜0，只需要考慮的情況.

要討論這個(gè)關(guān)于a的式子的取值范圍(得用導(dǎo)數(shù)求最值)有一定的難度，需用單調(diào)性或圖像.為了使式子變簡單熟悉，可進(jìn)行變量代換.

3)注意到g(x)的形式和條件x2－x1=2.

由x1，x2是f(x)的2個(gè)根，可設(shè)f(x)=a(xx1)(x－x2)，其中x1＜x＜x2，于是

下面不利用導(dǎo)數(shù)證明h(a)的單調(diào)性.

設(shè)a2＞a1≥2，則于是h(a)在a≥2時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)，從而h(a)的最小值為

點(diǎn)評 該題的難點(diǎn)在于信息量多，已知條件與所求之間關(guān)系比較難尋.在求最值和范圍時(shí)，其中的式子變形、變量代換、基本不等式應(yīng)用、單調(diào)性判斷等均有較高的運(yùn)算技能.

例2 定義函數(shù)求函數(shù)g(x)=xf(x)－6在區(qū)間［1，8］內(nèi)的所有零點(diǎn).

分析 這是一道常見的分段函數(shù)題，技巧的能力要求并不高，但需要嚴(yán)謹(jǐn)清晰的思維和計(jì)算歸納表述能力.首先，要清楚將f(x)分幾段.因?yàn)楫?dāng)x＞2時(shí)，并不一定在［1，2］內(nèi)，比如當(dāng)4≤x＜6時(shí)，則

相應(yīng)可得

點(diǎn)評 該題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)新課標(biāo)中要求的“數(shù)學(xué)分析，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)表達(dá)能力，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)素質(zhì)”，這也是數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn).這類題目有許多學(xué)生不是沒有能力解決，而是沒有這樣的毅力意志和持之以恒的精神完整地去解決，這恰是數(shù)學(xué)精神的缺乏.建議數(shù)學(xué)教學(xué)中要有意識地利用這類問題鍛煉學(xué)生的毅力.

例3 設(shè)二次函數(shù)y=f(x)=ax2+bx+c(其中a＞b＞c)，f(1)=0，且存在實(shí)數(shù)m使得f(m)=－a.

1)求證:①b≥0;②f(m+3)＞0.

2)函數(shù)y=g(x)=f(x)+bx的圖像與x軸的2個(gè)交點(diǎn)間的距離為d，求d的取值范圍.

分析 1)由f(1)=0，得a+b+c=0，

即a+c=－b.

因?yàn)?a＞b＞c，

所以 a＞0，c＜0.

又由存在實(shí)數(shù)m使得f(m)=－a，即am2+bm+ c+a=0有實(shí)根，從而

Δ=b2－4a(a+c)=b2+4ab=b(4a+b)≥0，

又4a+b=4a－c＞0，

從而 b≥0，

①得證.

從而 a＞b=－a－c，

即

2a＞－c，

得

f(m+3)＞f(1)=0，②得證.

2)由f(x)+bx=0，得ax2+2bx+c=0，

因?yàn)?/p>

Δ=4b2－4ac＞0，

所以x+x=－2b， x x=c，12a12a

從而

點(diǎn)評 要審清題意，尋求目標(biāo)的具體形式和所需條件.

例4 已知a∈R，函數(shù)f(x)=x|x－a|，求f(x)在區(qū)間［1，2］上的最小值.

分析 此題目標(biāo)明確，但由于含有絕對值和字母參數(shù)a，對絕對值和字母a要嚴(yán)謹(jǐn)討論.作出函數(shù)簡圖，用數(shù)形結(jié)合“按圖索驥”能比較清楚直觀地得到解決方法.由題意可得

1)當(dāng)a＞0時(shí)，由圖1可得:

當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f(x)在區(qū)間［1，2］上遞增，最小值為f(1);

當(dāng)1≤a≤2時(shí)，最小值為f(a)=0;

圖1

圖2

圖3

2)當(dāng)a=0時(shí)，如圖2，最小值為f(1).

3)當(dāng)a＜0時(shí)，如圖3，f(x)在區(qū)間［1，2］上遞增，最小值為f(1).

點(diǎn)評 當(dāng)根據(jù)題意能作圖時(shí)，數(shù)形結(jié)合、“按圖索驥”、“看圖說話”是一種很好的數(shù)學(xué)方法，特別對準(zhǔn)確、快速解決探索題、討論題有較大的作用.

例5 已知函數(shù)f(x)=|x2－1|，g(x)=x2+ ax+2，若函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)+2在(0，2)上有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 h(x)=|x2－1|+x2+ax+4=

注意到h(0)=5＞0，h(1)=a+5，當(dāng)1＜x＜2時(shí)是開口向上的拋物線.

討論 1)若h(x)在(0，1］，(1，2)內(nèi)各有1個(gè)根，則

2)若h(x)在(0，1］內(nèi)無根，在(1，2)內(nèi)有2個(gè)根，則

點(diǎn)評 這是結(jié)合函數(shù)圖形從條件到結(jié)論逐步分類討論的題型，是一類較好的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練題.這樣的教學(xué)訓(xùn)練對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力有明顯的效果，為解決相應(yīng)的函數(shù)問題奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ).如2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文、理科試題中的函數(shù)題，許多考生就能從中受益匪淺.

例6 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a，b∈R)，記M(a，b)是|f(x)|在區(qū)間［－1，1］上的最大值.

1)證明:當(dāng)|a|≥2時(shí)，M(a，b)≥2;

2)當(dāng)a，b滿足M(a，b)≤2，求|a|+|b|的最大值.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題)

例7 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a，b∈R).

2)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間［－1，1］上存在零點(diǎn)，0≤b－2a≤1，求b的取值范圍.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第20題)

從上可見，在函數(shù)教學(xué)中，有意識地進(jìn)行函數(shù)綜合問題的訓(xùn)練，對于培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，提升邏輯推理、合理猜想、討論歸納、數(shù)形結(jié)合、探索創(chuàng)新、嚴(yán)謹(jǐn)計(jì)算等的數(shù)學(xué)品質(zhì)、能力，掌握數(shù)學(xué)知識方法和提高數(shù)學(xué)方法運(yùn)算技能、解題能力都是非常重要和有益的，是我們必須重視和需要充分實(shí)踐的.