對一道賽題的證法探究與推廣

●馬占山 (五原中學 寧夏固原 756000)

對一道賽題的證法探究與推廣

●馬占山 (五原中學 寧夏固原 756000)

題目 設x，y，z是正實數，且xyz=1，求證:

這是第39屆IMO預選試題，本文主要對該賽題的解法作一些探究并進行加強和推廣.

當且僅當x=y=z=1時取到等號.

證法2 不等式(1)等價于

由x4+1≥2x2，可得x4≥2x2－1;又由，得x3≥3x－2，從而

要證明不等式(2)成立，只需要證明下面不等式成立:

注意到

從而

當且僅當x=y=z=1時取到等號.

對不等式(1)的左邊3項x，y，z的次數進行探究得到下面2個命題:

命題1 設x，y，z是正實數，且xyz=1，則

證明 該不等式等價于4(x2+y2+z2)+4(x+y+z)≥6+3(x+y+z)+3(xy+yz+zx).

注意到 4(x2+y2+z2)+4(x+y+z)≥4(xy+yz+zx)+4(x+y+z)，

因此只需證明4(xy+yz+zx)+4(x+y+z)≥6+3(x+y+z)+3(xy+yz+zx)，即

證明 該不等式等價于4(x3+y3+z3)+4(x2+y2+z2)≥6+3(x+y+z)+3(xy+yz+zx).

4(x3+y3+z3)+4(x2+y2+z2)≥4(3x+3y+3z－6)+4(xy+yz+zx)=12(x+y+z)+4(xy+yz+zx)－24，

因此，只需證明12(x+y+z)+4(xy+yz+zx)－24≥6+3(x+y+z)+3(xy+yz+zx)，即

至此，我們自然會將不等式(1)推廣為

推廣1 設x，y，z是正實數，且xyz=1，n是正整數，則

證明 當n=1，2，3時，前面已經證明，下面證明當n≥4時成立.此不等式等價于4(xn+1+yn+1+zn+1)+4(xn+yn+zn)≥6+3(x+y+z)+3(xy+yz+zx).

因此 xn+1+yn+1+zn+1≥x2+y2+z2.

同理可得 xn+yn+zn≥x+y+z，

于是 4(xn+1+yn+1+zn+1)+4(xn+yn+zn)≥4(x2+y2+z2)+4(x+y+z)，下面的證明過程同命題1(略).

利用證法1又可以將不等式(1)進行推廣，即

證明 由三元均值不等式可得

同理可得

以上3個式子相加得

即

當λ=1時，即為文首的IMO預選試題.

不等式(1)可加強為

由對不等式(1)的證明過程又可得到

等價于x+y+z≥3.在條件xyz=1下，由三元均值不等式知顯然成立.