一道不等式習題的探究性學習

●黃兆麟 (天津水運高級技工學校 天津 300456)

一道不等式習題的探究性學習

●黃兆麟 (天津水運高級技工學校 天津 300456)

求差法是證明不等式最基本的理論方法之一.雖然是最基本的，但其中也同樣能孕育出創新元素.例如人教A版《普通高中課程標準實驗教科書(數學選修4-5)》“不等式選講”第41頁習題3.2第6題:

例1 設x1，x2，…，xn∈R+，且x1+x2+…+xn=1，求證:

本題是教材柯西不等式的課后習題，編者的目的很明顯，是希望人們能用柯西不等式解決該題.今天我們希望有所創新，看看不用柯西不等式，只用簡單基本的求差法，到底能不能解決該題.

數學家華羅庚在他的名著《數學歸納法》中曾教導我們，要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是學好數學的一個訣竅!

1 探究

1.1 退

我們先“退”到三元的情形.

例2 設x1，x2，x3∈R+，且x1+x2+x3=1，求證:

證明 由不等式(2)的全對稱性，不妨設x1≥x2≥x3，則

故不等式(2)成立.

師:以上證法有2個關鍵點:一是三元排序后，不等式左、右2邊必須平均分配作差;二是平均作差后，表達式M1中有左、中、右3項，其中的左項非負，中項符號不確定，而其中的右項非正，以中項為平衡點(即中項不動)，左、右2項可同時同向放縮即達目的，我們不妨稱這種放縮法為“正負同向放縮法”(或稱為“左右平衡放縮法”).有道是:有正項，有負項，放縮之后同方向;左右正負不相同，放縮中間找平衡.

生1:此法很實用，回避了利用高等不等式以及絕妙的配湊技巧，連初中生都能接受.

1.2 進

我們再“進”到四元的情形.

例3 設x1，x2，x3，x4∈R+，且x1+x2+x3+x4=1，求證:

生2:老師，在四元不等式中，我們到底應該選哪一項為平衡點，是第2項還是第3項?

師:這個問題問得好，在三元情形中，肯定是選中項，因為中項的符號不確定，是不進行放縮的.但對于四元情形，首次排序后，應該有2項符號不確定，即第2項和第3項，故應有2個平衡點.

證明 由不等式(3)的全對稱性，不妨設x1≥x2≥x3≥x4，則

故不等式(3)成立.

師:以上證明過程原來要進行2次放縮!其中第1次放縮后需要將前2項及后2項分別合并，合并后的新2項符號可確定，前項非負，后項非正，再進行一次放縮，不等式右邊即可歸零.

1.3 證明

現在我們來證明n(其中n≥3)元情形.

生3:老師，對于n(其中n≥3)元情形，是不是應該有n－2個平衡點，這樣就將要放縮n－2次，是否太麻煩了?

師:你的擔心也不無道理，如果是這樣的話，左右平衡放縮法在多元情形中就將失去生命力，那么只能解低元情形了.但車到山前必有路，對于n元情形，我們可以根據n個元的算術平均值來確定一個平衡點的位置，這個平衡點可以在n元中，甚至可以不在n元中!

至此，表達式M中共有n個差項，其中前m個差項分子均非負且遞減，同時后n－m個差項分子均非正且遞減.又注意到

故不等式(1)成立.

生4:太棒了!老師，我覺得對于證明n元情形，這種證法叫“正負同向放縮法”很恰當，其中共有m個非負項，n－m個非正項，可同時同向放縮，而更神奇的是，這個m，我們并沒有求出其值，而是設而不求!數學真是太美妙了!

師:說得好!對于三元情形，求差后表達式M中共有左、中、右3項，故可稱此法為“左右平衡放縮法”.而對于n元情形，稱為“正負同向放縮法”更貼切!在n元情形中，正是由于這個n并未給出具體的數值，具有抽象性，理論上我們才得以確定出相應(抽象的)m的位置;如果給出n的具體數值，反而不好確定相應(具體的)m的值了.這正是數學的抽象性給人帶來的美感!

對于數學美，我們應該及時體會它，不斷認識它，處處挖掘它，積極利用它.有道是:雅懷深得花中趣，妙慮時聞筆里香.

2 應用

正負同向放縮法具有較大的應用空間，它特別適合全對稱代數不等式或三角不等式的證明.下面先證明一道含上界的全對稱代數不等式.

例4［1］已知x，y，z為正實數，證明:

原證法利用了2次代數換元，又通過構造三角形的方法，最后利用了一個三角不等式才完成證明，過程曲折繁復，人為地抬高了難度.現在我們利用正負同向放縮法給出其初等簡證.

即可.由不等式(5)的全對稱性，不妨設x≤y≤z，則

且y2+z2－2x2≥0及x2+y2－2z2≤0.設不等式(5)左、右2邊之差為M2，則

即不等式(5)成立，從而

即不等式(4)成立.

下面再證明一道全對稱三角不等式題.

例5 在△ABC中，已知△ABC的面積為S，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則

文獻［2］利用一個引理以及許多三角公式才給出以上不等式鏈(6)的一個證明，這里僅用正負同向放縮法即給出不等式鏈(6)的優化簡證.

證明 首先證明鏈(6)中第1個不等式.

由鏈(6)中第1個不等式的全對稱性，不妨設a≥b≥c，則

且a2－bc≥0及c2－ab≤0.又設鏈(6)中第1個不等式左、右2邊之差為M1，則

即鏈(6)中第1個不等式成立.下面再證鏈(6)中第2個不等式.由鏈(6)中第2個不等式的全對稱性，不妨設a≥b≥c，則

即鏈(6)中第2個不等式成立.

3 總結

正負同向放縮法具有一般性，特別適合一類全對稱三角(或代數)不等式的證明，以證明三角不等式為例，我們可歸納總結出如下4個主要步驟: 1)利用全對稱性，首先不妨設3個內角滿足A≥B≥C，且同時有及，并令待證不等式左、右2邊之差為M;

2)將不等式2邊各項對應地平均分配作差得M=h(A，B，C); 3)利用及將h(A，B，C)中含A和C正負(符號)相反的左、右2項同時進行一次同向不等式放縮(含B的中項不進行放縮)，得到含B的相同因子的3項后合并(有些題目此步還需分類討論，有些題目則不需要);

4)利用一個熟知(或已知)的不等式再進行一次不等式放縮，最終得到M≥0.

4 思考

當今的時代是需要人們不斷創新的時代.所謂創新，就是要敢于打破常規，要敢前人未敢想，干前人未敢干的事!不等式(1)的證明，按照常規的解法，應該用柯西不等式的分式形式，即所謂的權方和不等式來證明的.而本文則是打破常規，以基本的求差法為平臺，開創出“正負同向放縮”的新思路.數學教育家波利亞曾指出:一個思路使用一次是技巧，使用多次就是方法.正負同向放縮法正是這樣誕生的新方法，其主要過程可概括為:平均分配作差，正負同向放縮.它的發現樸實自然，水到渠成，它并沒有包含什么新的公式、新的理論，都是用現成的技術組裝得到的.我們每一個數學工作者在日常的學習中，只要做一個有心人，都能在茫茫的解題過程中不時地、不斷地發現新思路、新方法.只有這樣，我們才能“有所發現，有所發明，有所創造，有所前進”.最后，寫下美國阿波羅登月計劃總指揮韋伯說過的一句話，與同行們共勉:阿波羅計劃中沒有一項新發明的技術，都是現成的技術，關鍵在于綜合.

［1］ 李建泉.數學奧林匹克問題［J］.中等數學，2015(1):47-49.

［2］ 魏烈斌.a2+b2+c2≥bc+ca+ab≥的一個類似［J］.數學通報，2009(2):40.