淺談大學物理實驗中數學知識的應用

王紅利　楊建偉

[摘 要]大學物理實驗是對高等理工科學生實驗能力和科學研究思維培養的重要課程，也是各專業后繼實驗課程學習的重要基礎，研究并提高我國大學物理實驗教學水平顯得非常重要。數學知識對于大學物理實驗中做好誤差估計、數據處理以及近似替代等方面起著舉足輕重的作用。將理論知識與實際操作結合起來，以提高學生的實驗能力和研究思維水平。

[關鍵詞]大學物理實驗 數學知識 應用

[中圖分類號] O45 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2015）10-0112-02

一、引言

物理作為一門以數學為基礎的學科，與數學的結合相當緊密，其發展依賴于數學理論、數學思想和數學方法，而且物理中大量地應用到了數學知識和數學方法。幾乎所有物理實驗中的誤差估計、數據處理以及近似替代等都離不開數學知識，因此數學是做好物理實驗寫好實驗報告的關鍵所在。雖然目前國內很多理工科類高校在大學物理實驗課程學習之前，已經開設相應的高等數學課程，但由于學生對所學高等數學知識的整體把握度還不夠，甚至于對部分內容的掌握還相對生疏，從而不知道在大學物理實驗中如何去應用所學的數學知識，進而導致實驗數據測量誤差大、數據處理不合理、分析計算過程復雜等諸多問題。因此，如何在大學物理實驗中正確和熟練應用數學知識就成為做好大學物理實驗寫好實驗報告的關鍵。筆者根據自身多年的教學體會，結合一些具體實例分析了數學知識在大學物理實驗中的應用。

二、微分在誤差估計中的應用

在大學物理實驗教學中，一開始就要講解誤差的基本知識和近似計算方法，這其中包括如何運用微分來計算間接測量誤差和相對誤差。我們知道，利用任何測量工具和儀器進行測量時，誤差總是在所難免。假設x是由測量得到，實際測得的只是x的某一近似值x0，因此由x0計算得到的量y0=f（x0）也只是被測量y=f（x）的某一近似值。如果已知測量值x0的誤差限為δx[4]（其與所使用的測量工具的精度有關），于是絕對誤差記為△x=x0-x，且△x？燮δx，則當δx很小（測量工具較精密）時，由微分的意義知被測量誤差的絕對值

△y=f（x）-f（x0）≈f ′（x0）△x？燮f ′（x0）δx，

于是可求得相對誤差限

三、最佳最小二乘解在實驗數據處理中的應用

在許多大學物理實驗中，如電位差計測電動勢、金屬絲的線膨脹系數的測量等，我們經常需要根據實驗測得一系列數據，例如，n個數組（xi，yi）（i=1，2，…，n）去尋找自變量x和因變量y之間最能反映出給定數據之間的最佳關系，這就是所謂的曲線擬合問題。要找出不同變量之間的關系。我們可以通過傳統的處理方法，如圖解、目測的方法來達到目的。然而，在有些情形下，由于誤差的介入，使得到的結果往往并不是最佳的近似，甚至還會得到非常錯誤的結論。而最小二乘法是一種行之有效的數學方法，用此法擬合同一組實驗數據時，不論誰來處理，只要數據處理過程沒有錯誤，都會得到一致的結果。

我們可以用最佳最小二乘解的知識，很容易解決在大學物理實驗取得測量數據之后遇到的尋找經驗公式問題，即曲線擬合問題。這種方法與傳統的最小二乘法相比，具有形式簡單、計算簡便、過程簡約的特點。事實上這種通過求解最佳最小二乘法的方法與傳統的最小二乘法可以證明是等價的。高等數學中關于最小二乘解的定義[5]是：設A∈Cm×n，b∈Cm，若存在u∈Cm，使得對？坌x∈Cn，都有‖Au-b‖2？燮‖Ax-b‖2，則稱是u矛盾方程組（即無解）Ax=b的一個最小二乘解。注意這里的‖·‖2表示通常的歐幾里得范數。又設x0是Ax=b的最小二乘解，若對于Ax=b的每一個最小二乘解u，都有‖x0‖2？燮‖u‖2，則稱x0是最佳的最小二乘解（最佳逼近解）。

事實上，我們知道x0是唯一的并且x0=A+b，其中A+是系數矩陣A的加號廣義逆。而且還可以得到誤差估計為‖δ‖=‖Ax0-b‖2.

例如，我們測得一組實驗數據：（1，3），（2，5），（3，6），（4，7），從數據點的走向上看這些點非常接近一條直線，希望使用直線y=m+kx來擬合上述數據點。將實驗數據代入y=m+kx可得矛盾方程組Ax=b，即

1 11 21 31 4mk=3567.

顯然系數矩陣A是列滿秩的，所以A的左逆（ATA）-1AT就是A的加號廣義逆A+，于是

所以最佳擬合直線為y=2+1.3x，其誤差為

‖δ‖2 =‖Ax0-b‖2 =0.5477.

事實上，這種方法可以用來擬合數據點近似滿足的其他曲線，譬如拋物線、橢圓等。

四、等價無窮小在大學物理實驗中的應用

在大學物理實驗中，很多地方都會用到等價無窮小的高等數學知識。等價無窮小的定義為：設當x→0時，f（x）和g（x）都是無窮小量，，則稱f與g是當x→0時的等價無窮小，記作f（x）～g（x）（x→0）。如在楊氏模量的測量這個實驗中，平面鏡轉過的角度為θ，在利用光桿法測量長度變化量時，就用到了當θ很小時用其來近似替代tanθ，這樣就使問題在不犧牲誤差限的前提下大大簡化。同樣，在莫爾條紋的觀測和應用這個實驗中，也用到了當θ很小時用其來近似替代2sin，這里的θ表示兩個等距光柵之間的夾角。此外在全息光柵、用單擺測量重力加速度、雙棱鏡干涉測量單色光波長等許多大學物理實驗中也有相同的處理方法。

五、數學軟件在大學物理中的應用

我們知道，Maple、Matlab、Mathematica和Mathcad都是非常有名的數學軟件，它們集成了數值計算、符號計算、圖形界面、高級語言編程以及動畫制作等強大功能。隨著信息技術的發展，這些數學軟件也逐步被應用到大學物理實驗的教學中。例如，在密立根油滴實驗中，我們可以根據該實驗中的相關公式和各參變量數值，借助Mathematica軟件中的Plot命令做出油滴勻速下降的時間與油滴所帶電量、油滴電量誤差以及基本電荷誤差等的曲線圖，這樣我們就很容易從做出的這些曲線圖中很直觀的看出油滴勻速下降所需的時間越短，油滴所帶的電量就越多、油滴電量的誤差就越大；還可以看出油滴勻速下降的時間無限接近某一常數時，基本電荷的誤差也越小。又如，在普朗克常數測量試驗中，我們運用Matlab軟件對所取得的物理實驗數據處理進行模擬，這樣可以極大程度地避免繁雜的數學運算過程，并增加數據處理的準確性。

數學軟件在物理實驗教學中的使用將計算機應用與大學物理實驗相融合，既可以使實驗內容以圖文并茂的形式展示，有助于調動學生的積極性；也可以幫助學生深刻理解物理場景，拓寬學生視野，激發學生學習的興趣。

八、結束語

本文分析了大學物理實驗中數學知識的重要性，通過一些實例分析了微分、最佳最小二乘解、等價無窮小以及數學軟件等數學知識在大學物理實驗中的具體應用，但事實上大學物理實驗中所涉及的數學知識遠遠不止這些，在此我們不再贅述。筆者的意圖在于通過分析大學物理實驗中數學知識的應用，引起廣大物理學習者的注意，要想做好物理實驗，寫好實驗報告，就必須先學好數學，同時也通過本文起到拋磚引玉的作用。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 單雯雯，袁保合.大學物理實驗[M].鄭州：河南科學技術出版社，2012.

[2] 王燕紅，宋玲.大學物理實驗[M].鄭州：黃河水利出版社，2009.

[3] 趙光強，申莉華，李玉琮.大學物理實驗教程[M].北京：北京郵電大學出版社，2010.

[4] 同濟大學數學系.高等數學（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[5] 楊明，劉先忠.矩陣論[M].武漢：華中科技大學出版社，2004.

[責任編輯：張 雷]