淺談抽象函數的性質

田鈺

【摘要】抽象函數指一類只給出具有某類特征或性質，用一種符號表示的函數，這類函數沒有給出或沒有具體的函數解析式，是高中函數部分的重要知識點，也是高考的一個熱點.學生在此之前已經對函數的對稱性和周期性有了初步的理解，但是認識比較膚淺，缺乏全面深入的研究.

【關鍵詞】高中數學；函數；單調性

抽象函數指一類只給出具有某類特征或性質，用一種符號表示的函數，這類函數沒有給出或沒有具體的函數解析式，是高中函數部分的重要知識點，也是高考的一個熱點.做抽象函數的題目需要有嚴謹的邏輯思維能力、豐富的想象力以及函數知識靈活運用的能力.由于抽象函數的抽象性和隱蔽性，讓大多數學生感到無從下手，本文對抽象函數的性質進行了詳細的歸納小結，有助于從總體上把握抽象函數的性質.

一、抽象函數的定義域

解決抽象函數定義域問題，必須明確抽象函數的定義，運用整體等價轉化的思想.

若函數f（x）的定義域為[-1，2]，則函數f（x-1）的定義域為.

分析 由題意知-1≤x-1≤2，求出x的范圍并用區間表示，是所求函數的定義域.

解 ∵函數f（x）的定義域為[-1，2]，∴-1≤x-1≤2，解得0≤x≤3.∴所求函數的定義域是[0，3].

點評 本題的考點是抽象函數的定義域的求法，有兩種類型：

1.已知f（x）定義域為D，則f（g（x））的定義域是使g（x）∈D有意義的x的集合；

2.已知f（g（x））的定義域為D，則g（x）在D上的值域，即為f（x）定義域.

二、抽象函數的值域

求解抽象函數的值域首先明確值域由定義域和對應法則決定，然后結合抽象函數的其他性質（單調性、奇偶性、周期性、對稱性）進行求解.

例2 已知定義在R上的奇函數f（x）滿足2x=a1-f（x）-1，則f（x）的值域是.

分析 先由f（x）為奇函數求出a，得到f（x）表達式，由2x>0及函數的單調性可求出f（x）的值域.

解 由2x=a1-f（x）-1，得f（x）=1-a[]2x+1.因為f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0.所以0=1-a2，解得a=2，f（x）=1-2[]2x+1.因為2x>0，所以0<2[]2x+1<2，-2<-2[]2x+1<0，-1

點評 本題考查函數的奇偶性、函數解析式的求法，屬于基礎題，難度不大.

三、抽象函數的單調性

解決抽象函數問題單調性問題，可以緊扣基本定義（作差或作商），進行合理的拼湊即可解決問題.

例3 對于函數f（x）=a-2[]2x+1（a∈R），探索函數f（x）的單調性.

分析 （1）設x1

解 （1）∵f（x）的定義域為R，設x1

∵x10.

∴f（x1）-f（x2）<0，

即f（x1）

點評 本題考查的知識點是函數的單調性，熟練掌握函數單調性的定義是解答的關鍵.

四、抽象函數的奇偶性

解抽象函數奇偶性問題時，一定要先考察其定義域是否關于原點對稱，然后緊扣奇偶性定義進行合理的賦值，即可求解問題.

例4 若函數f（x）對一切x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）.

（1）試判斷f（x）的奇偶性；

（2）若f（-3）=a，用a表示f（12）.

分析 （1）判斷f（x）奇偶性，即找出f（-x）與f（x）之間的關系，∴令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故問題轉化為求f（0）即可，可對x，y都賦值為0.

（2）由于知曉f（-3）=a，故解本題關鍵是找出f（12）與f（-3）之間的關系，注意用（1）的結論.

解 （1）顯然f（x）的定義域是R，關于原點對稱.又∵函數對一切x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0.再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），∴f（-x）=-f（x）.∴f（x）為奇函數.（2）∵f（-3）=a且f（x）為奇函數，∴f（3）=-f（-3）=-a.又∵f（x+y）=f（x）+f（y），x，y∈R，

∴f（12）=f（6+6）=f（6）+f（6）=2f（6）=2f（3+3）=4f（3）=-4a.

故f（12）=-4a.

點評 本題考點是抽象函數及其性質，在研究其奇偶性時本題采取了連續賦值的技巧，這是判斷抽象函數性質時常用的一種探究的方式，在第二問的求值中根據恒等式的結構把已知用未知表示出來，做題時注意體會抽象函數恒等式的用法規律.

我們研究抽象函數主要從抽象函數的概念和性質進行研究，可類比初等函數的學習方法進行學習，雖然抽象函數的抽象性和多邊性使得抽象函數的求解非常困難，但事實上抽象函數與諸多基本函數的性質有著非常緊密的聯系，只要在解題過程中不斷地進行歸納和總結，挖掘其中的隱含條件，運用以上歸納的策略進行求解，可達到事半功倍的效果.