高中數學解題中“算兩次”思想方法的應用探析

付秀鳳

【摘要】“算兩次”這種數學方法在數學中又叫做富比尼原理，其基本思想是：把一個量按照兩個不一樣的角度進行兩次計算，然后建立一種等量關系.本文結合高中數學中具體例子探討了算兩次思想方法在高中數學的應用.

【關鍵詞】高中數學解題；算兩次思想方法；應用

解析幾何中如果要求某個動點的軌跡，一般是按照動點所滿足兩個條件來建立等式.算兩次思想方法在數學競賽題中也有較多的應用.在高中數學中，教師和學生在解題時也使用算兩次思想方法，但是該解題方法沒有受到重視，沒有從數學思想上認識它，在教師的解題教學中算兩次方法被應用的也不多.

1.算兩次數學思想方法在數學題中的體現

算兩次解題法表現出了從兩個方面來解題的特點，從深一層次來說它蘊含的思想是換角度看問題，也就是轉化思想.高中數學中轉化思想有重要地位與作用，是數學思想精髓.何為轉化思想，教育分類學中指出：轉化思想把問題從一種形式朝另一種轉化，可從語言向圖形轉化，或從語言向符號轉化，或每種情況反轉化.這種轉化包含數學中數、式和形的轉換，又包含心理轉換.

哲學上看，轉化是用運動、聯系與發展的觀點來看問題；思想結構上，首先對一些原理、法則與典型問題解法形成深刻認識，遇到復雜問題時，通過尋找其和基本問題關系，化繁為簡，化抽象成具體，從而解決問題.基本原則有簡單化與熟悉化、正難則反、和諧化與直觀化等.新課標下高中數學呈現起點高、容量多和課時緊特點，學生不適應突出，師生迫切強化思想方法，重視思想的教學和應用.

（1）簡單化與熟悉化在三角函數中應用.簡單化與熟悉化是將復雜的轉化為簡單的，生疏的轉化為熟悉的來解題.簡單化與熟悉化是數學解題與探究中常見方法之一，它要通過積累與熟悉基礎知識、技能與方法，既是解本題需掌握的技能方法，又是分解轉化數學問題的方法.簡單化與熟悉花在三角函數中化簡、求值與證明中應用廣泛.（2）和諧化與直觀化在不等式最值中應用.和諧化是指轉化的條件與結論，使其形式符合數和形所表示的和諧的形式.直觀化是指將抽象問題轉化成直觀問題解決.恩格斯指出數學是現實的空間形式與數量關系.解析幾何促進數形結合，利用代數解決幾何題.數學中遇見數、形與式的轉化問題，出現函數會聯想相關熟悉函數，它的圖像、所包含性質和它們的關系等.求解或者驗證不等式最值時，可根據條件、形式與特征構造輔助函數，轉化問題條件與結論，把原問題轉化的研究函數性質，通過數、形、式轉化求解.（3）正難則反在證明題和概率題、排列組合中應用.正難則反指問題正面遇到困難，應考慮反面，設法從反面探求.這種問題是經常出現的，可鍛煉與提升逆向思維.證明題反證法是應用逆否等價來求證，如恒等式正難則反轉化問題，概率和排列組合中出現至多、至少問題，可比較問題與它對立問題的復雜和簡單關系解題.

2.算兩次法在數學教材解題中的應用

該思想方法是以教材為基礎通過對很多道題的解答和證明而獲得的，所以說它來自教材，從數學水平和思想上來說又比教材高.在高考數學的命題過程中它是一個重要考查點，高考對它的考查也是以教材為基礎的，對于算兩次法現在的新數學教材中也出現了好幾次，例如在等差數列中求出數列的前n項和公式，在推導中要用到倒序相加法；關于兩個角在推導其和、差的余弦公式時也用到了算兩次法.但在數學的課堂教學中，算兩次思想方法并不被重視，不少一線教師和高三骨干教師，對這種思想方法都知道的不多；還有的認為該數學思想方法對于高中階段數學學習來說不是重要的，所以就不對它做重點講解，這就使學生在高考解數學題時如果可以用該思想方法解答，學生就不會運用.學會找出數學思想與對應方法，使學生提高分析與解決問題的水平，從而提高他們的數學素質，要把教材作為基礎.

在推導定理與公式時多多運用算兩次法，增強學生運用該思想方法來分析與解決數學題的意識.在新出版的高中數學教材中，像那些比較重要而又基礎性較強的定理與公式，對它們的結論進行證明時需要使用有創新性的方法，創新性主要是說選擇較為合適的角度來計算，更方便地建立等量或者不等量關系，這時算兩次法便是一種很好的方法，在課堂教學中教師要注意在講解這種題型時有效運用算兩次法，并讓學生聽明白，增強學生對該數學思想方法的認識.此外，高中數學課本上有不少定義與公式都有好幾種表達形式，像三角形面積公式、解答平面向量數量積時所用公式、圓錐曲線定義等，因為它們有多種表達方式，所以在應用過程中靈活性較強，算兩次在理解和解決這些定義與公式時是一種比較合適的方法.在給學生講解課本上和其他資料上的題時，對那些典型例題與習題要進行深入和多次講解，方便學生對算兩次思想方法的總結.

3.總 結

在立體幾何中求兩點距離或其他距離經常使用等體積法，這是運用了三棱錐的可換底性質，對三棱錐體積進行兩次計算，然后建立等式來求高.算兩次法是一種常用到的解題方法，還是一個重要數學思想，在數學課本上它是化歸與方程思想的一種表現形式，同時也表現出了換角度思考這種理性思維特點.在使用算兩次法來解題時，不必注重其表面形式，重要的是要對該思想方法在本質上認識與理解它.

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