不同“視角”，體驗別樣“精彩”

徐星

如題：大于1的正整數m的三次冪可“分裂”成若干個連續奇數的和，如23 = 3 + 5，33 = 7 + 9 + 11，43 = 13 + 15 + 17 + 19，若m3分裂后，其中有一個奇數是103，則m的值是 （ ）.

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

在2014年秋學期七年級期末考試命題中，將這道題作為選擇題的最后一題，期望通過這題作為能力題，以便增加考試的區分度.命題之初，預估這道題的難度系數為0.2～0.3，也就是得分率在20%～30%.以班級人均50名同學的學額計算，每班答對人數控制在10～15人. 考試結束后的統計結果如圖1.

我所教的班級有51名同學，統計結果表明：其中選擇正確的有22人. 也就是該題的得分率比較高，在欣喜之余，我決定找選擇正確的22人詳細了解這道題的解題思路，以期在解法中遴選優秀的有代表性的思路做有針對性的講解.

學生甲：根據條件，等式的左邊是一個數的立方，等式的右邊是連續奇數的和；底數是幾，就有幾個連續奇數，且下一個立方數的等式的第一個奇數是上一個等式中和最后一個奇數相鄰的后一個奇數.于是： 53 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29，63 = 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41，73 = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55，83 = 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71，93 = 73 + 75 + 77 + 79 + 81 + 83 + 85 + 87 + 89，103 = 91 + 93 + 95 + 97 + 99 + 101 + 103 + 105 + 107 + 109.因此103在103對應的等式中，故m = 10.

這時我問：如果不是103，而是1003，那m的值要是確定下來不是就很麻煩啊？學生甲默默地點了點頭.我問了一下，用其他方法的人可以自由發表自己的觀點.

學生乙：老師，如果將13 = 1補上，那么13 = 1， 23 = 3 + 5， 33 = 7 + 9 + 11，43 = 13 + 15 + 17 + 19，就是從正整數1開始的有規律的一組關于正整數的等式. 等式左邊是一個立方數，等式右邊是從上往下依次是從1開始的連續奇數的和，且左邊底數是幾，右邊就有幾個連續奇數，寫成寶塔形就是如圖2 .從上往下看最后一個數，如圖3：依次是1，5，11，19，29，41，….這些數的規律是m（m + 1） - 1.

當m = 9時，m（m + 1） - 1 = 9 × 10 - 1 = 89；當m = 10時，m（m + 1） - 1 = 10 × 11 - 1 = 109.

103大于89，小于109，故m = 10. 用這個規律很快可以確定1003對應的m = 32.

我追問了一下：你怎么想到將已知條件改寫成寶塔形的？學生乙說：以前小學學過的楊輝三角模型就是這個形狀，雖然有區別，但是也可以用這個模型來解決這個問題.然后我要求用學生乙的方法的同學也坐下，有其他不同方法的同學自由發表觀點.

學生丙：我研究的方法和學生乙差不多，不過我是研究的每個等式的第一個數（如圖4），它們依次是：1，3，7，13，21，

31，…. 這些數的規律是m（m + 1） + 1.當m = 10時，m（m - 1） + 1 = 91；當m = 11時，m（m + 1） + 1 = 111. 而103大于91，又小于111，故m = 10.

用這個規律很快也可以確定1003對應的m = 32.

對學生乙、學生丙的解法，我高度肯定了學生丙的建模思想，他們善于從不同的角度，就這些數的特征找到數學規律，利用規律解決問題. 那么，除了從每行最后一列數或者最前一列數這些角度外，能否再從不同角度也能發現規律呢？我不失時機對全班學生進行點撥.

很快，數學課代表提出了他的看法.

學生丁：我研究該模型的中間（如圖5），我發現只有當底數是奇數的時候，處在最中間的一列數分別為1，9，25，49，…. 這些數正好是底數的平方. 如果m = 9，那么最中間的數是81，于是81后面連續四個奇數分別為83，85，87，89；如果m = 11，那么最中間的數是121，和121相鄰的前面五個奇數分別為119，117，115，113，111；103只能在第10行，故m = 10.

學生丁的視角指向奇數行，并且從奇數個數中找“中位數”這一特定的數發現規律，并從規律中找到解決問題的途徑，但是要想順利地找到1003對應的m值，還是具有一定的難度，因為找到了“中位數”以后，還必須寫出當m = 31時和它相鄰的后15個奇數以及m = 33時和它相鄰的前16個奇數方可確定m = 32.

學生丁的發言剛剛結束，班長迫不及待想要表達自己的觀點：

在圖5中，在偶數行分別插入一列數：4，16，36，…，插入的這些數正好是底數的平方，因為它們是偶數，所以它們不可能分布在每一行中，因此，以該平方數為中心，成對寫出相鄰的奇數，使得它們的平均數就是該平方數. 因此在該模型中可以發現：奇數行和偶數行都可以看成最中間的數一定是一個完全平方數，而且和等式前面的立方數底數相同. 當m = 9時，最中間的數是92 = 81；當m = 10時，最中間的數是102 = 100是插入的數，成對就可以得出該行的十個數分別為99，101；97，103；95，105，；93，107；91，109. 顯然m = 10. 而且當m = 32時，最中間的數是322=1024是插入的數，以1024為中心成對寫出16對奇數，其中有一對是1003，1045，所以1003在第32行.

結合學生丁和班長的發言，我進行了及時的歸納：就每一行的特征看，如果m是奇數，m3 = [m2 - （m - 1）] + … + （m2 - 2） + m2 + （m2 + 2） + … + [m2 + （m - 1）]；如果m是偶數，m3 = [m2 - （m - 1）] + … + （m2 - 1）+（m2 + 1） + … + [m2 + （m - 1）].

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，詩人描寫的意境啟迪我們，要努力培養學生從不同的角度思考數學問題，對于學生甲的數學思考，不能說不好，至少他的方法使他體驗到成功后的喜悅；學生乙、丙、丁的數學思考，從不同的觀察角度，發現并找到規律并利用規律解決問題，尤其是學生乙，能將學到的楊輝三角模型用來解決問題，知識的儲備在解決這一題的時候為同學們解決問題提供一個很好的數學模型，將一連串看似簡單，實則復雜的數學問題模型化. 班長的思路最值得提倡，為了找出規律，從中間線上的數據入手，發現規律，并利用規律完美地解決問題.

因此，數學老師要鼓勵學生從不同的角度進行數學思考，在不同角度進行數學思考的過程中，一步步發現數學問題的本質，揭開數學問題的“廬山真面目”.只有這樣，學生對數學問題的探索興趣會越來越濃，學生對數學問題的解決欲望會越來越強，培養學生真正的數學思考的能力.