高中數學數形結合思想的培養和教學實踐

馮劍鋒

【摘要】在我國傳統的數學教學中，教學方法是多種多樣的.而在高中數學的教學中，數與形是兩個最基本的概念，數形結合的思想既是高中數學教學的重點，也是一種重要的教學思想方法.在高中數學教學活動中，教師培養學生數形結合的思想方法進行數學解題，能夠提高學生的思維能力，提高教師的教學質量和效率.

【關鍵詞】高中數學；數形結合；教學

在高中的數學教學中，教師要引導學生對生活圖形進行觀察和分析，把生活中的圖形和數字進行結合；同時，對于一些抽象的數學問題，需要通過圖形把它形象具體化.因此，在教學活動中進行數形結合思想的滲透，把握教學教材，以形助數，以數解形，讓學生學會用數形結合的思想去學習高中數學知識和解決高中數學問題.

一、數形結合方法解決高中數學問題的分類

作為一種常用的數學方法，數形結合方法被廣泛應用于高中數學教學.一般而言，數形結合方法主要用于解決以下幾類數學問題，如表1所示.

1集合問題借助數軸、Venn圖來處理集合運算中的交、并、補等運算簡化問題，讓運算變得更為快捷、明了

2函數問題研究函數圖像，分析函數的基本性質（如函數的單調性、連續行、周期性、對稱性等）將函數圖像的幾何特征與數量特征緊密結合在一起，深化函數知識的掌握

3方程與不等式問題處理關于方程根問題時，可將方程的根的問題轉化為兩個函數圖像的交點問題；在處理不等式問題時，可分析其幾何意義，聯合相關函數，從題目的條件和結論出發，進行高效求解快速找到解決問題的思路，提高解題效率

4三角函數問題憑借單位圓或者三角函數圖像，讓三角函數的單調性，對稱性，周期性一目了然，準確確定三角函數的單調區間，比較三角函數數值的大小降低求解難度，提高求解質量

5線性規劃問題通過圖形的分析，確立目標函數，在數形結合中解決問題簡化計算

6數列問題將數列的通項公式以及前n項和公式均視為關于正整數n的函數，通過對函數圖像的直觀分析，把數列問題轉換成函數問題來高效解決簡化解題難度，拓展解題空間

7解析幾何問題通過分析圖像，了解幾何的點、線、曲線的性質及它們之間的關系理清點、線、曲線之間的關系，提高解題效率

8立體幾何問題對立體幾何的點、線、面進行分析，將抽象的結合問題轉換成純粹的代數問題簡化問題

二、以形助數，用形來解決數學中數的問題

在高中數學中，經常運用圖形的方法來解題.而圖形解題方法的關鍵是圖形的構造，在對圖形分析的時候就要抓住圖形中一些關鍵的量以及它們之間的關系，然后通過巧妙的運用數學中的概念、式子規律去刻畫它們內在的關系.圖形解題方法一般有三種途徑：應用平面幾何知識，應用立體幾何知識，應用解析幾何知識將數量問題轉化為圖形問題.例如通過圖形可以很好地刻畫相反數、函數的零點、函數的單調性等.在學習人教A版《必修一》1.1.3：《集合的基本運算》時，可以引導學生用韋恩圖法解決集合的關系問題.一般，集合都是用圓來表示，有公交元素時則用兩圓相交來表示，沒有公共元素用兩圓相離來表示.用韋恩圖法就能夠讓學生很容易理解集合與求解之間的關系，以及集合與求解關系之間的問題.例：一個班共有48名學生，要求每一名學生都要參加一個活動小組，參加化學、物理、數學小組的人數分別是15、25、28同時參加化學、數學的是6人，同時參加物理、化學的是7人，那么同時參加數學、物理、化學的小組人數是多少？在解答這個數學問題的時候，教師可以在黑板上用圓A、B、C分別來代表參加數學、物理、化學小組的學生人數，然后用這三個圓共同的部分來表示同時參加數理化小組的學生人數.假設用N來表示集合的元素，那么就有N（A）+N（B）+N（C）-N（A∩B）-N（A∩C）-N（B∩C）+N（A∩B∩C）=48即28+25+15-8-6-7+N（A∩B∩C）=48所以N（A∩B∩C）=1，即同時參加數理化的同學只有一人.這樣進行數形結合，通過圖形來思考數，就將復雜問題簡單化了，學生更容易理解題目，教師的教學也更加生動，學生的學習能力和解決問題的能力也在無形中提高著.

三、以數解形，用數來解決數學中形的問題

在高中數學教學中，經常會將幾何問題轉換成代數問題來討論，教師將抽象的問題具體化的來討論，這樣便于學生對題目的理解，更能提高學生的解題能力，比如在引入三角函數的時候，就是用代數方法解決幾何問題.在幾何中也常用數量關系去研究圖形位置.特別在立體幾何的證明與求值上，通過引入空間直角坐標系，借助空間向量的運算，可將抽象的幾何問題轉化純粹的代數運算.例如在求直線與平面所成的角、二面角時，用傳統的幾何法找它們的平面角難度就比較大.而運用空間向量的法向量去求值就大大降低了難度.幾何與代數有著密不可分的聯系，通過數形結合的方法進行教學，解決數學問題，可以減輕學生學習知識的難度，提高學生學習的興趣，使得學生可以更直觀，更形象，更快速的學習高中數學.

四、把握題目條件和結論之間的關系，通過數形結合解決問題

在平常的教學活動中，教師要注意培養學生對問題的分析能力.通過數量與圖形的結合，對問題所提出的條件和結論進行分析，更好掌握數形結合的應用.比如在學習必修五3.3.2《簡單的線性規劃問題》時，我們可以引導學生將二元一次不等式轉換成平面區域，這樣就可以將不等式的關系式轉換成了平面的關系，把代數不等式問題轉成了平面區域問題，導出我們的結論，從而解決問題.教師通過在平常教學的點滴滲透數形結合思想，使得學生在平時的學習中，養成看到數就能聯想到形，看到形就聯想到數的學習模式，自然使用數形結合的思想來解決問題，從而提高思維能力和學習效率

五、引導學生在直觀中去理解數學概念，建構數學模型

在數學的教學實踐中，教師可以就所給圖形或者隨機繪制圖形來引導學生進行觀察和研究，分析出圖形中所蘊含的數量關系，教師通過圖形的形象描繪，使得學生將形象思維與抽象思維進行有機的結合.教師這種形助數的教學，讓學生學習化繁為簡，由難變易.也便于學生對學習內容進行想象和分析，最終形成數學概念，用學生自己的思維方式記住和理解數學概念，在解答問題的時候更好的運用數學概念.這樣潛在數形之間的關系教學，可以引導學生形成數形結合的去解決問題，學會將抽象的數學問題形象化，將一些難點、重點的學習知識，通過圖形的結合方式來理解和記憶.這樣數形結合的思想教學可以幫助學生構造數學模型，便于學生對數學的學習，提高學生的解題能力.

六、在教學活動中教師要借助多媒體技術實施數形的結合

目前我國普遍的數學教學都是比較枯燥乏味的，為了激發學生的學習興趣，使課堂教學更加的生動和形象，也為了將高中數學中復雜，抽象的問題簡單和形象化，教師可以將多媒體引進到平常的教學活動中來，通過計算機的計算，圖形，圖像等一些功能，為一些數學上的抽象思維模式提供直觀的模型，使得數學概念更加的簡單，明了.從而使學生更直接的去探索數學規律，提高學生學習的興趣，提高他們思考和創新的能力.

在高中數學中數形結合方法是高常用教學方法，這是因為數形結合方法可以將數學問題更加的簡單化和直觀化，使得枯燥的數學學習變動生動了.這樣的教學一方面有助于學生對數學知識的理解，在學生的腦海中形成了數學模型，便于學生對數學知識的記憶.另一方面，這樣數形結合的教學，可以培養學生的思維能力.因此在高中的數學教學活動中，教師要積極的培養學生數形結合的學習能力，提高學生的個人能力，進一步提高教師的教學水平，為社會的發展提供優秀的人才.

【參考文獻】

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