數學教學與學生思維能力的培養

張金伙

【摘要】高中數學教學的目標要求之一，就是培養學生良好的思維能力.同時，良好的思維能力，又是學習數學必須具備的.本文擬從四個方面，就數學教學與學生思維能力的培養，提出筆者的一些認識和做法.一是剖析概念，培養思維的嚴謹性；二是類比聯想，培養思維的廣闊性；三是轉換變通，培養思維的辯證性；四是逐層引導，培養思維的深刻性.

【關鍵詞】數學教學；思維能力；嚴謹性；廣闊性；辯證性；深刻性

數學，被人稱之為“思維的體操”.《數學課程標準》中，也明確提出要培養學生的“發散思維和求異思維”.可見不管是數學的教學目標，還是要把數學學好，都離不開對學生思維能力的培養.具體地說，在數學教學中，應通過對數學概念的剖析，符號組合的分析，圖形的證明，計算的變化等數學活動，使學生在邏輯思維、抽象概念、對稱欣賞、表象創造、變化聯想等方面，得到數學思維的訓練，從而培養數學的思維能力，使思維具備敏捷性、變通性、嚴謹性、廣闊性、深刻性、創造性等良好品質.

培養學生的思維能力，既是數學教學的目標要求之一，同時良好的思維能力，又是學習數學不可缺少的，甚至對學生今后的學習生活、工作，都是大有益處的.培養學生良好的思維能力，既是目標，也是手段；既是要求，也是途徑.

如何培養學生的思維能力，可以說“仁者見仁，智者見智”，方法、手段、措施不少.筆者多年從事高中數學教學，下面擬就此問題，結合自己的教學，粗淺地談談自己的認識、體會和做法.

一、剖析概念，培養思維的嚴謹性

高中數學涉及的概念很多.數學概念是數學知識的重要內容，對教學概念理解是否全面、準確，不但直接影響到學生判斷能力、遷移能力、化歸能力等的高低，而且有可能由于學生對概念理解掌握的模糊，導致推理不當，結論錯誤.

數學中的不少概念，表達嚴密，有的是充滿唯一性，有的充滿必要性，有的條件、限制極強，表達中缺了一點，漏了一項，都有可能出現錯誤.為此，通過對數學概念的深入細致分析，關鍵點的反復強調，有助于培養學生思維的嚴謹性.具體地說，教學中教師可以通過對概念的講解，復述，辨析等方法達到訓練培養嚴謹思維的目的.特別是采用辨析題的形式，不失為一種好方法.

例1判斷下列函數的奇偶性，并說明理由.

1f（x）=x3+x；2f（x）=x2+x12；

3f（x）=0；4f（x）=0，x∈（-3，4].

通過對以上四個函數奇、偶性的分析，學生對奇、偶函數的定義域必須關于原點對稱這一隱含條件定會有更深刻的認識，從而養成要判斷函數奇、偶性，先必須考慮函數定義域的良好習慣.

在講解概念中，除了正常的講述外，教師可以設置幾個與正確全面理解概念有關的選擇判斷題，讓學生在思考判斷、辨析選擇中，既加深對概念的全面準確理解，又訓練培養學生思維的嚴謹性.嚴謹的思維，不但是學生學習數學所需要的，也是學習其他學科，乃至今后步入社會，在社會工作、生活中也是必不可少的.

二、類比聯想，培養思維的廣闊性

類比聯想，就是將新舊知識之間進行形式的或內在的對比或比較，從而發現它們的特征和規律，進而提出猜想和判斷.它是依據兩個對象或兩類事物間存在的相同或不同屬性而聯想到另一類事物也可能具有這種屬性的思維方式.高中數學中的立體幾何，代數，解析幾何，它們都具有一定的獨立性，但又有著千絲萬縷的不可分割的緊密聯系.這些不同分支的數學門類，它們相互滲透，互相依存，很多時候只是外在形式的不同，其實本質是一致的，所謂“萬變不離其宗”和“條條大路通羅馬”.數學中的幾何問題可以用代數來體現，而反過來代數問題可以用幾何來體現，數形結合，抽象與直觀結合，這正是數學無窮的奧妙和變化多端的所在.為此，在教學中，數學教師要通過用類比聯想的方法，有效提高解題的速度和準確性，同時也借此化解疑難，促進學生思維廣闊性的培養.在教學中具體地做法是：在解決幾何問題時，教師要求學生聯想運用代數原理和方法，在解決代數問題時，要求學生聯想運用幾何問題原理和方法，同時講解例題和練習、測驗，也注意篩選相應的題目.

例2求函數y=x2+4x+13+x2-2x+5的最小值.

單獨分析此函數，比較繁瑣，即含有二次函數，又是兩個根式相加，而且兩個二次函數的單調性又不相同，要求其最小值，確有一定難度.引導學生進一步分析，原函數可化為y=（x+2）2+9+（x-1）2+4，則可觀察出兩個根式與解析幾何中的距離公式相似，從而有了進一步的變形：y=（x+2）2+（0-3）2+（x-1）2+（0-2）2，于是便可聯想到此式的幾何意義：即求點（-2，3）與點（1，2）到x軸上點的距離之和的最小值.然后用幾何作圖，即可獲解.

在教學中，教師有意識的多進行類比聯想的講解訓練，可以有助于學生思維聯系性和廣闊性的培養，不但使學生在教學學習中，舉一反三，聯系貫通，化難為易，化繁為簡，提升能力.同時培養了學生全面看待問題，聯系發展觀點看待問題，盡力刪繁就簡，快速解決問題的能力，從而使得思維更加廣闊，在今后學習，生活，工作中，不囿于一點，不拘于一面，在更廣闊的視野和思維空間，更高效地解決問題.

三、變通轉換，培養思維的辯證性

在有限的時間里，解答數學命題，很多時候，不能一條道走到底，需要的是另辟蹊徑，需要的是變換一個角度，這就如同改打一座山頭，當正面強攻硬碰有難度，攻不下時，需要采用迂回戰術，這樣往往可以收到奇效.

例3求拋物線y2=4x上的點與圓（x-4）2+y2=1上的點間的最小距離.

分析：兩個點都在運動，如果分別在拋物線與圓周上各任取一點，然后運用兩點間的距離公式來求，的確太繁瑣了，而且總覺得還缺點什么.還有其他方法嗎？能否在動中找出不動的因素？思路便可由此展開，圓周上任一點到圓心的距離相等，于是乎，兩動變為一動一靜，問題便簡化多了.

在實際教學中，數學教師要交給學生“正難則反，化動為靜，數形結合，辯證分析”等解題的原則和方法，盡可能的要求學生一題多解，要求學生注意從不同角度分析問題.這樣學習一項內容，一個章節知識，能將多項內容，多個知識點，互相聯系起來，融會一體，即達到溫故而知新，融會貫通的效果，又培養了多角度看待問題，聯系發展全面看待問題的辯證思維能力.辯證思維能力的培養，不僅對于學習數學，解決數學問題，大有裨益，同時也能使學生在成長過程中，能更清醒，更理智，更全面的看待問題，經得起困難挫折的挑戰，受得了成功榮譽的考驗.

四、逐層引導，培養思維的深刻性

數學，最忌諱的是觀察停留在表面，不能深入分析發現，那種浮光掠影的表象膚淺思維，是很難把數學學好的.數學需要的是由表及里，由淺入深，由外到內的解析，只有思維的深刻，才有可能去偽存真，抽絲剝繭，層層深入，最終全面準確的解決問題.因此，數學教學，應注意培養學生思維的深刻性.

要培養學生思維的深刻性，教師在教學中可采用層層設凝，步步激趣，逐層引導的方式，由此訓練培養學生思維的探索性和深刻性.

例4若以（2，0），（2，2）為焦點的橢圓與拋物線y2=8x有公共點，求長軸最短的橢圓方程.

此題涉及兩次曲線的焦點問題，看似超出了大綱要求.有些學生試圖求出兩曲線相切時的切點坐標而求解此題，計算量非常之大.不能力敵，便設法智取.

師：“所求橢圓滿足幾個條件？”

生：“兩個.一是要與拋物線相交，二是長軸最短.”

師：“怎樣從另外一種角度看這個問題？”

生：……（茫然）

師：“相交，即有公共點，公共點便具有雙重性：既在拋物線上，又在橢圓上，橢圓的長軸又怎樣求？”

生：“哦，公共點到兩焦點的距離之和便等于長軸長.”

生：“此題可這樣敘述：在拋物線上找一點，使得它到橢圓兩焦點的距離之和最小……”

繼而分析可知：拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，再根據拋物線上的點到焦點的距離與它到準線距離相等的特性，便可簡易求解.

從上述教學案例中，不難看出，由于教學其高度的抽象性，嚴謹的邏輯性，結論的確定性和應用的廣泛性等特征，決定了數學學習有其難度，一些學生對此心存畏懼，為此在教學中采用這種逐層引導的方式，不但是其學科特點所需要的，而且讓學生能清楚了解和掌握其變化規律，發現變換的奧妙，激發求知探索的興趣，培養思維的深刻性.這種滲入探究的深刻思維，是一個人良好思維品質的體現，也更加有助于學生今后健康的成長和成才.

數學，與其說是一門與計算有關的學問，還不如說是一門講究思維的學問，換句話說就是“數學離不開思維”.只有良好的思維品質，才能把數學學好.教師在數學教學中，只有注重培養學生的這些思維品質和思維能力，才有可能把數學教好，同時才能培養學生良好的思維品質，這不僅對于數學學習非常重要，對于其余學科的學習，對于學生各方面良好素質的形成，也是大有意義的.