高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的化歸思想及應(yīng)用分析

杜軍

【摘要】化歸法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種非常重要的方法，它的本質(zhì)是通過(guò)把一些人們不能解決的問(wèn)題通過(guò)一次或者多次的轉(zhuǎn)化，變成一個(gè)或多個(gè)人們比較熟悉或者能解決的問(wèn)題.高等數(shù)學(xué)的化歸方法，不僅僅是一種教學(xué)的方法，同時(shí)，也能通過(guò)這種方法的運(yùn)用，將學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化.本文將主要對(duì)高等數(shù)學(xué)中的化歸思想及應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)要的分析.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；化歸思想；應(yīng)用；分析

仔細(xì)回想，在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，很多時(shí)候，我們都是將那些我們無(wú)法解決的問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化的方式將其轉(zhuǎn)變?yōu)槲覀兡馨盐栈蛘吣芙鉀Q的問(wèn)題.通過(guò)這種方式，我們可以將已掌握的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法運(yùn)用來(lái)解決一些全新的問(wèn)題，這就是化歸思想最大的優(yōu)點(diǎn).化歸思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種基礎(chǔ)方法，在運(yùn)用的過(guò)程中主要就是要求人們能通過(guò)不同的角度和思維方式去處理問(wèn)題.在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，化歸思想對(duì)于提升數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量具有重要的作用.

一、教學(xué)中運(yùn)用轉(zhuǎn)化促進(jìn)化歸

（一）通過(guò)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化產(chǎn)生化歸

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，最常見(jiàn)的就是“數(shù)”與“形”了，二者是數(shù)學(xué)問(wèn)題的必備因素，同時(shí)，二者又相輔相承.在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，我們常常可以見(jiàn)到“數(shù)”與“形”互相轉(zhuǎn)化的方法，其途徑或者是將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，或者是將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”.例如，用幾何圖形來(lái)解決代數(shù)或三角函數(shù)問(wèn)題，就很好地運(yùn)用了將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”的方法.

（二）將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題實(shí)現(xiàn)化歸

在概念發(fā)展的階段，一般都是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從低級(jí)到高級(jí).而化歸思想在高等數(shù)學(xué)的運(yùn)用中往往就是將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，以便于解決.例如，運(yùn)用重要極限的基本形式來(lái)解決極限函數(shù)的問(wèn)題就是運(yùn)用變數(shù)代換將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化；同樣，也可以用極坐標(biāo)系來(lái)解決直角坐標(biāo)系的問(wèn)題.這些都是運(yùn)用化歸的思想將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

（三）通過(guò)高維向低維轉(zhuǎn)化進(jìn)行化歸

高維轉(zhuǎn)化為低維是高等數(shù)學(xué)中一種很常見(jiàn)的解決問(wèn)題的辦法，主要有三種方式：第一，將高次轉(zhuǎn)為低次.第二，將二元轉(zhuǎn)為一元.第三，將空間的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到平面去解決.通過(guò)一系列的轉(zhuǎn)化，高維的問(wèn)題就變成了低維的問(wèn)題，通過(guò)低維的方法和知識(shí)就可以很好地解決這些原本復(fù)雜的問(wèn)題了.

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，筆者發(fā)現(xiàn)有三部分內(nèi)容很好地展現(xiàn)了這種化歸的思想.第一，在多元函數(shù)的運(yùn)算中經(jīng)常運(yùn)用到，例如，面積分、極限、重積分等，通過(guò)轉(zhuǎn)化，最終都能運(yùn)用一元函數(shù)的方法來(lái)解決這些問(wèn)題.第二，高階微分方程的解題過(guò)程都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為一階微分方程來(lái)解決的.第三，將空間圖形轉(zhuǎn)化為多個(gè)平面圖形，再分步解決.

（四）通過(guò)構(gòu)造數(shù)學(xué)模型進(jìn)行化歸

通過(guò)構(gòu)造數(shù)學(xué)的模型來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中化歸思想起到了很大的作用，并且在實(shí)際的解題過(guò)程中，量與量之間關(guān)系復(fù)雜，且問(wèn)題紛繁復(fù)雜.我們?cè)诮鉀Q高等數(shù)學(xué)題的過(guò)程中，可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，將無(wú)法解決的復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)一個(gè)的已知的數(shù)學(xué)題，再?gòu)闹袑で蠼忸}的方法.例如，運(yùn)用函數(shù)y=f（x）的最大值與最小值來(lái)求解實(shí)際問(wèn)題中我們常遇到的最大值和最小值；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作為求變化率的一種數(shù)學(xué)模型也常被運(yùn)用來(lái)解決變速運(yùn)動(dòng)中的瞬時(shí)速度或者曲線的切線斜率，以及電流強(qiáng)度等問(wèn)題.

二、利用化歸優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

（一）揭示知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系，掌握知識(shí)內(nèi)在結(jié)構(gòu)

在數(shù)學(xué)的化歸思想中，主要是運(yùn)用同化或者順應(yīng)，運(yùn)用原有的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)與新的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，讓新的數(shù)學(xué)知識(shí)去適應(yīng)已有的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.因此，數(shù)學(xué)老師在教學(xué)的過(guò)程中，要充分利用化歸的方法，引導(dǎo)學(xué)生掌握教學(xué)中各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，不僅可以讓學(xué)生在解題的過(guò)程中將知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)化，同時(shí)，又非潰有利于學(xué)生對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí).比如，針對(duì)高等數(shù)學(xué)中的積分這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，老師就要讓學(xué)生明白，幾乎所有的積分問(wèn)題都是通過(guò)轉(zhuǎn)為定積分來(lái)求解，那學(xué)生掌握了這一基本的解決思路，以后在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，也就知識(shí)類似的題型如何通過(guò)轉(zhuǎn)化來(lái)解決了.

（二）把握學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從教材的呈現(xiàn)程序方面促進(jìn)化歸

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基本上都是從學(xué)生的已知知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)去構(gòu)建新的知識(shí).因此，老師在教學(xué)時(shí)，一定要先對(duì)學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)結(jié)構(gòu)作一個(gè)很好的了解，同時(shí)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的觀念也要了解，如果學(xué)生對(duì)這種基礎(chǔ)的知識(shí)和觀念欠缺的情況下，老師要給予補(bǔ)充或者復(fù)習(xí)，然后，老師在新知識(shí)與學(xué)生已有知識(shí)之間建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)之間的順接和化歸.比如，如果老師要講多元函數(shù)的求導(dǎo)法則，必須先將學(xué)生以前學(xué)過(guò)的一元函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行復(fù)習(xí)，同時(shí)，也要對(duì)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，以及在多元函數(shù)的求導(dǎo)法則中會(huì)涉入到的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一一進(jìn)行復(fù)習(xí)，在此基礎(chǔ)上，再給學(xué)生講多元函數(shù)的求導(dǎo)法則，那學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的順接就會(huì)非常順暢.

當(dāng)然，在知識(shí)的聯(lián)系中，不僅有縱向的，也有橫向的，章節(jié)之間的聯(lián)系也非常重要.因此，老師在教學(xué)的過(guò)程中，不僅要讓學(xué)生看到相關(guān)課題之間的內(nèi)在聯(lián)系，也要將數(shù)學(xué)不同章節(jié)內(nèi)容之間的共同點(diǎn)給學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，這樣，不僅有利于學(xué)生建立已有知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，而且對(duì)學(xué)生實(shí)現(xiàn)已有知識(shí)向新知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化起到了非常重要的作用.

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，數(shù)學(xué)的化歸思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題非常重要的一種方法，不僅有利于老師在教學(xué)的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)各知識(shí)點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化和滲透，同時(shí)，也非常有利于構(gòu)建學(xué)生已有認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)與新知識(shí)之間的聯(lián)系，從而達(dá)到優(yōu)化學(xué)生認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的目的，并且在實(shí)際的運(yùn)用中起到了良好的效果.此外，化歸思想在高等數(shù)學(xué)中的運(yùn)用，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維力、思維的敏捷能力和邏輯思維能力都具有非常重要的作用.

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