“三角形復習課”的教學思考

晏玉香

數學課的教學設計，我們既要尊重學生的認知規律，又要尊重知識本身的生長規律，要在知識呈現的過程中，讓學生體會知識的生長點，體會知識的相關性，幫助學生以逐漸生成的方式內化為自己的認知;在解決問題的過程中讓學生體會解讀條件的必要性，解決問題的方法往往就隱藏在條件背后. 初三“三角形”的復習給我們提供了一次教學生分析問題，幫助學生形成良好思維品質的機會.

一、從整理知識結構說起

復習課難上，難在學生都學過這部分內容，已經沒有新鮮感，尤其是這些數學定義、性質、判定、推論，但是這些知識點又是解決綜合題必備的知識基礎，那么怎么樣讓學生既復習好這部分知識，又不枯燥無味呢？

我在設計時，先在黑板上畫一個三角形，讓大家回憶一下與這部分相關的知識點，學生很快就會說出：內角和180°，勾股定理，高線，中線，角平分線，特殊的等腰三角形，直角三角形，兩邊之和大于第三邊.

學生很快地喚醒了這部分記憶，只是這是很零散的知識點，下面讓學生試著歸類，提高學生知識的整合能力，也是讓學生自主地在腦海中構建知識體系. 在教師的引導和學生的努力下，不難一起整理出三角形這一部分的知識結構圖.

概念及性質（由三條不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的封閉圖形，三角形具有穩定性）

圖形元素（三個頂點，三條邊，三個內角，六個外角）

分類

三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

內外角關系：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角;三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

邊角關系：三角函數，勾股定理.

重要線段：高線、中線、角平分線.

二、從具體的知識點聯想其各種應用

三角形的角平分線是一條非常重要的線段，那么角平分線究竟有哪些常見的應用類型呢？筆者沒有像傳統的課堂一樣，直接呈現三角形幾種常見應用的例題，這樣直接“喂食”的方式沒有新意，而且很難被學生真正接受，因此筆者也是讓學生先回憶與角平分線相關的常見的應用. 這時學生會積極思考從腦海中快速搜索，比如三角形角平分線的性質，角平分線與等腰三角形、平行線結合的知二求一，由角平分線軸對稱變換構造等腰三角形，這時在教師的提示下，也可以總結出根據角平分線截長補短構造軸對稱型全等，下面再展示如下幾個例題，在總結完三角形的應用的基礎上看這些例題，也會更加有針對性.

1. 角平分線的性質，即角平分線上的點到角的兩邊距離相等.

在四邊形ABCD中，BC > BA，AD = DC，BD為∠ABC的角平分線. 求證： ∠A + ∠C = 180 °

分析 ? 可以過點D分別作AB和BC的垂線段，證明兩直角三角形全等，當然此題也可以用截長補短構造軸對稱型全等.

2. 平行線、等腰三角形、角平分線的知二求一.

如圖所示，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分線相交于點F，過點F作DE∥BC，交AB于點D，交AC于點E ，若DE長15 cm，求線段BD + CE的長.

分析 ? 由題目已知，角平分線和平行線的結合出現了兩個等腰三角形，因此把BD和CE分別轉移到DF和EF.

3. 根據角平分線截長補短構造軸對稱型的全等三角形.

如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AB + BD = AC，求∠B ∶ ∠C的值.

分析 ? 由題目已知中的AB + BD = AC，這是線段和差關系，很容易想到截長補短的輔助線，而且還有角平分線，因此為構造軸對稱型全等提供了條件，此題可以在AC上截取AE使得AE = AB（截長），或者延長AB至F，使得AF = AC（補短）.

4. 由角平分線軸對稱變換構造等腰三角形.

已知：等腰直角三角形ABC中，∠A = 90°，AB = AC，∠B的平分線交AC于D， 過C引 BD的垂線交BD的延長線于E.

求證：BD = 2CE.

分析 ? 等腰直角三角形是一類非常重要的三角形，為旋轉提供便利條件，同時題中也給出了角平分線以及CE與BE垂直的條件，因此此題延長CE與BA的延長線相交于F，這樣出現了一組軸對稱的直角三角形，從而得到一個等腰三角形.

三、由具體的問題分析其背后隱藏的知識點

剛才是由一個知識點聯想其各種應用，下面反過來，從一個具體的應用挖掘其背后隱藏的知識點.

問題 ? 已知：如圖，在△ABC中，D為BC中點，DE⊥DF，DE交AB于E，DF交AC于F，問：BE + FC與EF的關系？

挖掘題目背后的知識點：

1. 由DE⊥DF可想到：

（1）直角三角形的所有性質及相關結論;

（2）直角三角形可以經過軸對稱變換得等腰三角形.

2. 中點聯想到的知識點有：

（1）中點定義.

（2）倍長中線（即構造中心對稱型全等）.

（3）中位線定理.

（4）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

（5）三角形的一條中線將三角形的面積分成相等的兩部分.

（6）和等腰三角形結合的三線合一.

3. 直角頂點恰好是一條線段的中點可以聯想到“半角模型”：兩次翻折構造全等.

大家都知道，初中階段學過的幾個全等變換是平移、軸對稱、旋轉，而這個問題也可以同時用這個方法證明.

解決這個問題的方法如下：

方法一：（軸對稱）兩種方法

方法二：（旋轉，中心對稱）

方法三：（平移BE至CH，需注意要證明E，D，H三點共線）

方法四：由直角三角形斜邊中點和中位線想到

當然，復習階段要提升學生的能力，也可以繼續探究這個問題.

探究1：若增加條件∠B + ∠C = 90°，這三條線段原有的關系變嗎？它們還有其他關系嗎？你還能得到哪些結論？

探究2：若增加條件∠B = ∠C = 45°，這三條線段原有的關系變嗎？它們還有其他關系嗎？你還能得到哪些結論？

探究3：若去掉“△ABC中”，如下圖增加條件∠B + ∠C = 90°，這三條線段原有的關系變嗎？它們還有其他關系嗎？你還能得到哪些結論？

題目的條件決定了結論，也給我們提供了解決問題的方法，這個問題意在讓學生體會挖掘題目條件的必要性以及幾何問題的分析方法，同時對條件的不同關注可以讓我們找到解決問題的不同方法——一題多解. 這道題雖然不難，但對于提升學生的知識使用能力而言，卻不失為一道好題，它具有基礎性、代表性、生長性，既可以進行知識間的縱橫聯系，又能進行一題多解、一題多變，使學生對知識的相關性有了深入的體會.

初三復習時間緊張有限，作為老師，我們應該怎樣改善學生的學習方式？怎樣尊重知識的生成過程？如何在有限的時間讓我們的學生收獲更多？這是我一直思考的問題.其實我們只需要站在學生的角度，做到每節課設計的問題既不能脫離學生實際，又不能脫離知識本質;既要關注問題的深刻性，又不能忽視學生的可接受性;既要順應知識的生長規律，又要關注學生的思維成長規律. 我們要通過幫助學生整理知識、分析問題，教學生怎樣使用條件，培養學生思維的有序性，不斷揭示基本知識的生成性，使我們的課堂更生動，使我們的教學更有價值.

本文僅是自己的一點思考，不到之處懇請批評指正.