高等數學解題中線性代數方法的運用

呂春燕

【摘要】線性代數作為高校數學課程中最為基礎的一門數學課，在數學函數中有很重要的作用，很多高等數學都離不開線性代數的融合，通過線性代數方法能夠在短時間內對線性代數方程組進行正確的求解，解決線性的變換和空間結構問題，提高高等數學解題效率.同時線性代數還能夠很大程度上培養學生分析事情的邏輯思維能力，而由于線性代數課程最大的特點就是抽象性，因此，在教學的過程中，應掌握一定的策略，以提高學生的學習興趣和知識應用能力.

【關鍵詞】線性代數方法;高等數學解題;應用

引 言

數學在我們生活中無處不在，在大學期間，數學學習的難度有所增加，所以高等數學被分為了好多學科，其中就包括線性代數這一重要的學科.《線性代數》和《高等數學》是學生必學的基礎課程，它很好地反映出了數學知識的精髓.線性代數相對較為復雜，對于高等數學來講，運算思路和難易程度有很大的差異，在對實際問題進行解決時一定程度上有很好的互補性.線性代數的學習程度對高等數學是有一定的影響的，因為線性代數與高等數學是由相輔相成的作用的，在解決某些問題上，采用其中的一種方法是有可能比較困難的，這個時候就需要轉變思維，換一個角度想問題，讓自己的學習過程更加順利，從而提高自己的成績.

一、線性代數方法學習所需能力

1.需要有抽象的思維能力才能使學習更加高效

線性代數是需要學生通過抽象的思維進行想象的，可以說學習的過程中對于向量，矩陣等都需要自己通過抽象想象的.線性代數中這樣的學習有很多種，例如矩陣與線性方程組，在矩陣與矩陣，矩陣與向量組，向量組與向量組等等，所以學生要了解他們之間的抽象關系，認真領會其中的知識點，對他們的概念以及性質的學習進行加強.在初中和高中的學習中，學生們已經接觸過具有抽象能力的數學知識點了，比如說在向量的學習中，就需要將向量想象成一種抽象的東西，這個時候的數學還是很好學的，但是對于高等數學中的線性代數里面的思維想象能力的要求就相對來說比較高了，所以對于學生在這方面能力的鍛煉與培養，需要教師多加引導，讓學生養成自己思考，主動學習的好習慣，多做題，逐漸的就會把自己的抽象能力培養出來.

2.邏輯推理能力

不僅僅是線性代數需要邏輯推理能力，可以說整個的數學學習就是一個邏輯推理能力的培養從小學時，學生們便開始學習數學，數學的學習一直都在鍛煉學生們的是邏輯推理能力.線性代數的各個知識點之間邏輯關系是非常緊密的，邏輯性是非常高的.其實我們在學習很多學科時都有這種體會，知識點不是單獨存在的，教材在安排知識點的位置的時候也都會將有聯系的知識點放在一起學，這樣既對學生學習起來是一個方便，同時教師在教授的過程中也更加容易方便，這在一定程度上考驗了學生的邏輯思維能力，所以線性代數在學習過程中一定要上下聯系，找出其中關聯的地方，把有關聯的知識點放在一起仔細研究，找到他們在解題過程中的運用效果，能夠在解題過程中顯得不那么手足無措，同時要深刻理解其中的每個知識點之間的聯系，從而提高學習效率.另一方面學習的過程中需要運用的推理能力不僅僅表現在知識點的上下聯系，而且在解題過程中需要在讀過題之后快速的找到體重的關鍵點，找出解題時所要用到的知識點，這也是對邏輯推理能力的一個考驗.

二、線性代數在高等數學解題中的應用

1.二次型理論的應用

線性代數中二次型理論是重點內容，求二次函數的極值問題，可以運用二次型理論來解決.

例1

2.正交變換的應用

（1）在判斷二次曲面類型的應用

根據幾何知識二次方程：

a11x21+a22x22+a33x33+2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3+b1x1+b2x2+b3x3+c=0.

如果對空間二次曲面進行表現，需要確定曲面的類型，需要用到直角坐標消除交叉項，由于正交變換能夠夾角和長度進行保持，因此最大的有點就是保持圖形的不變.

例2 把二次曲面方程：3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=1來作為標準方程，對該方程表示的曲面進行明確指出.

解 記f（x，y，z）=3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz.

得出二次型的矩陣，求|A-λE|=（-λ）（λ-2）（λ-11）得出A的特征值：λ1=0，λ2=2，λ3=11各個特征值對應的單位特征向量，

正交變換：x

在這種情況下，二次曲面方程化為標準方程2v²+11w²=1它表示橢圓柱面，且該方程表示的幾何圖形與原方程一模一樣.

（2）正交變換在求曲面積分中的應用

對于計算三維空間中的曲面積分，如果已經知道積分曲面的參數形式，一般可以使用高等數學里介紹的方法進行計算，但是對于某些積分曲面，若不知道或很難使用參數形式表示出來，則不易計算.此時我們可以使用正交變換的方法進行嘗試.首先給出利用正交變換理論解決曲面積分問題的方法.

假設S是三維歐式空間R3的光滑曲面，p（x，y，z）是s上的連鎖函數，而x

w是歐式空間的一個正交變換，S`是曲面S在上述正交變換下的象，p-（u，v，w）是p（u，v，w）與正交變換的復合函數，此時有下列計算曲面積分的公式：∫sp（x，y，z）dS=∫sp-（u，v，w）dS′.

3.線性方程組知識的應用

例3 設：f（x）在a，+∞上n階可導，limf（x）和limf（n）（x）存在，求：limx→+∞f（k）（x）=0（K=1，2，…，n）.

證明 設limx→+∞f（x）=A，limx→+∞f（n）（x）=B，根據Taylor公式可得： fx+k=f（x）+kf′（x）+k22！f″（x）+…+kn-1（n-1）f（n-1）（x）+knn！f（n）ξkx<ξk

（3）

則limx→+∞f（n）ξk=limx→+∞f（n）（x）=B.

根據函數極限得出：f（n）ξk=B+αk，其中limx→+∞αK=0（K=1，2，…，n）

把該式引入到上式得出關于f′（x），f″（x），…，f（n-1）（x），B的一個線性方程式：

（4）

得出系數行列式：

（6）

從方程組（4）中通過f（x），f′（x），…f（n-1）（x），B解出，可得一個fx+k-f（x）-knn！αk （K=1，2，…，n）的線性組合

limx→+∞fx+k-f（x）-knn！αk=A-A+0=0，B=0

即limx→+∞fk（x）=0（k=1，2，…，n）.

（7）

三、在線性代數教學需注意的問題

學習數學知識需要運用到很多規律性方法，線性代數的學習也是非常重要的，在實際的學習中，教師對學生的引導也不可忽視的一個環節，教師對學生知識點正確運用的引導和教學方法尤為重要，這是為線性代數知識在高等數學中更好運用的前提，所以，教師在教學中要做好首要工作.

教師在教學時，需要對每一個概念進行詳細的講解，使學生對概念全面的了解，概念是正確解題的基礎.在進行例題講解時應把需要用到的知識點一一列出對學生進行深入淺出的加深概念的理解，由此還可以延伸到之前學習的知識，對其進行必要的復習，讓學生在新知識學習的過程中復習舊知識，能夠在很大程度上適應抽象的思維模式.

在傳統線性代數教學中，知識的學習和生活是兩個獨立的個體，很大程度上脫離了生活范疇，由于枯燥使學生在學習時沒有更多的積極性，所以，教師需要在此方面加大教學力度，提高教學中的趣味性，很有必要在教學中引入一些生活中實實在在的例子，提高學生的學習興趣.

由于數學課堂氣氛有些枯燥，教師在講解時應運用啟發性的問題來提高教學質量，調動學生的好奇心，使其進行互動交流和主動對知識進行討論，這樣在很大程度上能夠打破傳統的教學方法，最大程度上以學生為主題，提高教學質量.

此外，學生在學習的過程中，也應注意把握好“由易而難，有低而高，由簡而繁”的原則，加強對概念的理解，只有在正確概念理解的基礎上進行試題的求解，才能夠由淺而深接近問題的正確答案.同時還用認識到初等變換的重要性，由于運用初等變換方法需要較高的運算能力，日常學習中也應有意識地培養自己的運算能力.

六、總 結

綜上所述，高等數學在學習的過程中是有一定的難度的，在學習過程中也不是那么好掌握的，里面的錯綜復雜在學習的過程中學生們也可以體會出來，這就使得有些學生在做題時無從下手，對于這些數學題無可奈何，而將線性代數引入到高等數學的學習中我們可以相對容易地解決問題，可以說，它為高等數學注入了股新的氣流.因此，在學習過程中，一定要靈活運用，將線性代數方法在解高等數學的題目時靈活的運用進去，使學生們在學習過程中可以提高自己的學習效率.