數形結合思想在高中數學教學中的應用

丁然

【摘要】數形結合思想是中學數學中一種很重要的思想，本文主要通過對利用數形結合思想解決集合、函數、方程等幾個典型例題的剖析，讀者便會發現數形結合思想使得問題既降低了難度，又容易被理解.

【關鍵詞】數形結合思想；應用；高中數學

高中作為數學學習的重要階段，而高中生對于解題研究的理論上還是缺乏全面性、系統性和針對性.數形結合，能夠加深對知識的理解，更加深刻認識問題的本質.每年高考中都有一定量的考題采用此法解決，可起到事半功倍的作用.數形結合的思想方法是數學教學內容的主線之一，應用數形結合的思想可以解決以下問題.

一、應用數形結合思想解決集合問題

例1 設A，B，I均為非空集合，且滿足ABI，則下列各式中錯誤的是（ ）.

方法二 對這類全是字母描述的集合，我們可以在滿足條件的前提下，設出具體的集合，用于判斷選項的真假，令A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}，檢驗四個選項可知，B錯誤.

方法三 利用韋恩圖判定，先畫出滿足題意的韋恩圖（如圖所示），據圖可知B錯誤.

解題總結：通過三種方法進行比較，不難發現，方法三利用數形結合作圖，更為簡單高效，教學中學生易于接受，方法一、二通過計算較為復雜.因此，在教學中，對于這種一題多解的情況，可以擇優選擇方法.

二、應用數形結合思想解決方程問題

解決此類問題，需要構造出函數，畫出函數圖像，找出交點的個數，即為原方程根的個數.

例2 方程sinx=lgx的實根的個數有（ ）.

A.1個 B.2個 C.3個 D.無窮多個

解析 在同一平面直角坐標系函數y=sinx和y=lgx兩圖像，交點的個數即為原方程根的個數.

由圖中可看出兩函數圖像有三個交點，此方程共有三個解.

答案：C.

注意：用此法時作圖要精確，否則容易出現錯誤.

三、應用數形結合思想解決函數問題

在中學我們學習函數時，研究函數的性質——單調性、周期性、有界性、奇偶性等，函數的圖像是我們研究中最感興趣的部分之一，我們可以從直觀的圖形上認識函數的性質.從初中研究的一次函數、二次函數、反比例函數，到高中研究的指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等基本初等函數時，都與圖形結合到一起研究.

例3 已知二次函數f（x）=x2+x+a（a>0），若f（m）<0，則f（m+1）的值是（ ）.

A.0 B.符號與a有關

C.負數D.正數

分析 先求出函數f（x）=x2+x與x軸的交點坐標，確定小于零時的區間為（-1，0），區間長為1，而a>0，則f（x）圖像由函數f（x）=x2+x向上平移，則f（x）<0的區間長會小于1，再由f（m）<0，得m+1一定超出了小于零的區間得到結論.

解 由f（x）=x2+x=0，解得x=0或x=-1，即兩個零點之間的距離等于1.又因為a>0，所以f（x）圖像由函數f（x）=x2+x圖像向上平移，此時函數f（x）的兩個零點之間的距離小于1.因為m+1-m=1，f（m）<0，

所以m+1一定超出了小于零的區間.

根據二次函數的圖像可知f（m+1）為正數，

故選D.

總結：本題不僅需要對二次函數的性質能夠靈活運用，而且能將抽象的函數關系與具體的圖形性質密切聯系起來進行探究.

最后，希望工作在一線的高中教師在不斷提高專業知識水平的同時，也不斷提高教學水平，讓數學思想在高中數學的舞臺上綻放出耀眼的光芒.

【參考文獻】

[1]薛金星.高中數學基礎知識手冊[M].北京：北京教育出版社，2012.

[2]快樂考生·講練測[M].北京：首都師范大學出版社，2013.