撥開云霧見晴天

孟祥國

【摘要】二次根式歷來是教學中的一個難點，新修訂的初中《代數》第三冊，雖然降低了教學要求，但是對于初二學生來說要比較好地理解和掌握仍有一定的困難在等著，在教學過程中發現存在很多問題.如：對概念理解不夠深透、特點不明確、忽視了限制條件、化簡思路不開闊不靈活、解題思路不清晰、循規蹈矩、墨守成規、缺乏綜合分析問題和探究問題的能力等等.由于以上問題的存在，導致了學生在學習二次根式這部分內容時，簡單直接的內容基本能夠處理，對難度稍大一點、靈活性較強的題目就顯得束手無策了.針對這些問題，筆者就在教學中存在的幾個誤區進行了剖析，旨在拋磚引玉.

【關鍵詞】二次根式；代數；誤區

誤區一 對二次根式定義理解不夠深透，或忽視了其特點而造成的誤區

例1 判斷a+b是不是二次根式.

本題同學們的答案通常有兩個：一、是， 二、不是.

其實這兩個答案都是不正確的.正確的答案應該是：當a+b≥0時，a+b是二次根式；當a+b<0時，a+b不是二次根式.

錯誤原因：對定義的理解不夠深透.其實以上兩種答案都沒有緊扣定義，只不過是胡蒙而已，對于 a型的二次根式同學們還是能夠處理得了的，當遇到a+b型的二次根式，就感到束手無策了.

反思：此題對培養同學們的整體意識與提高綜合分析問題的能力極有益處.

例2 若x3= -xx成立，試確定x的取值范圍.

大部分同學的答案是：x<0.

答案顯然不對，由二次根式的特點可知：-x≥0，由定義知：x≥0，兩個不等式的公共解集應是： x=0，因此x的取值是：x=0.

此題同學們如果仔細分析一下結果的話，錯因就會自然地浮出水面，不至于因為結果中出現了“-”號，就草率地作出了結論，而忽視了x必須有意義，顧此失彼.

反思：注重培養學生綜合分析問題的能力是何等的重要.

例3 將二次根式-（a-1）11-a 中根號外的因式移到根號里面去并進行化簡.

多數學生的答案是：-（a-1）11-a=- （a-1）1-a2=-（1-a）21-a=-1-a.

當老師問及同學們此題的答案是否正確時，則同學們異口同聲地回答：正確.于是老師與同學們一起對此題進行了剖析：由二次根式11-a有意義可知：1-a>0，即-（a-1>0），也就是說原

二次根式應該是正值，而這些同學作出的結果則是負值，因此答案錯誤.正確答案應是：

解 -（a-1）11-a=（1-a）11-a=（1-a）21-a=1-a.

反思：此題是典型的對概念理解不透徹，忽視了其特點從而在解題過程中導致的錯誤，并且是共性的錯誤，應引起高度重視.

誤區二 隱含條件沒有得到充分挖掘而出現的錯誤

例1 化簡x-yx+y .

有兩名同學的答案如下：

當老師問及這兩名同學的答案是否正確時，同學們則異口同聲地回答：都正確.老師補問了一句都正確嗎？這時有一部分同學開始懷疑這里面肯定有問題，于是就試圖找出問題來，但是最終未果.最后在老師的提示引導下才發現生二的答案錯了，錯因也明確了，生二的錯誤原因是：

由原式可知：x與y中至少有一個大于零，但不說明x不能等于y，當x=y時，生二在化簡時分子、分母所乘的代數式 x-y顯然是零，故生二的化簡錯誤.

例2 把（a-b）-1a-b中根號前的因式移入根號內.

有幾名同學展示的答案是：（a-b）-1a-b=-（a-b）2a-b=-（a-b）=b-a.

此題的做法明顯暴露的一個問題是：對隱含條件挖掘不透而導致的錯誤.由-1a-b有意義可知： a-b<0，因此原代數式的結果應該為負，正確答案應是：

解 （a-b）-1a-b=--（a-b）2a-b=--（a-b）=-b-a.

反思：以上兩題問題就出于對隱含條件挖掘不透徹，此類題目為二次根式的化簡敲響了警鐘.

誤區三 由解題習慣、思維定式造成的誤區

例1 化簡： 2-323-32 .

同學們在化簡此題時使用的方法全部是常規方法，將分子、分母同乘以23+32，雖然這種化簡方法不是知識性錯誤，也能達到化簡目的，但是不夠簡捷.若同學們改變一下思路將23+32整理成6（2-3）然后再進行化簡的話，將會起到事半功倍的效果.解答如下：

解 2-323-32=2-36（2-3）=16=66.

反思：此題的化簡方法，為化簡此類二次根式開辟了新的思路.

例2 化簡：3-5.

同學們一看到題目覺得非常簡單， 于是就著手化簡起來，有的同學將被開方數乘以5，有的同學乘以3+5，但是發現都不奏效，沒有一名同學完成化簡任務，甚至大家都認為此題根本無法化簡，此時老師借機提示了一句：同學們，在不改變代數式的值的情況下，將5的系數變為2試試看，老師一席話，猶如撥開云霧見晴天，同學們的情緒一下就高漲了起來，紛紛按照這個思路動手做了起來，順利完成了化簡任務.復合二次根式的化簡訣竅也掌握了，同時也體驗到了發現的快樂，同學們的答案是：

解 3-5=6-252=（5）2-25+122=（5-1）22=5-12=10-22.

反思：此題雖然簡單，卻為化簡復合二次根式起到了以點帶面的作用.

例3 化簡15+3+2 .

同學們接到題目后，未加思索就用常規方法開始化簡起來，結果發現常規方法根本達不到化簡目的，這時才想到，必須另辟蹊徑，教師借機稍一點撥： 若將分母中的任意兩個根式看作一個整體試試看，于是同學們的思維活躍起來，紛紛動起筆來， 于是順利得到解答.下面是解答之一.

解 15+3+2= 1（5+3）+2=5+3-2（5+3+2）（5+3-2）=5+3-2（5+3）2-（2）2

=5+3-22（15+3）=（5+3-2）（15-3）2（15+3）（15-3）=23-30+3212.

反思：此題為化簡多根號二次根式指明了明確的方向.

通過以上三例的研究發現，適時培養同學們的創新能力和探索精神是何等重要，不但能打破同學們的思維定式，避免經驗主義，開辟新的解題思路，而且能大大提高同學們解決問題的能力，達到舉一反三、觸類旁通之效果.

綜上所述，可以發現，同學們在解決以上二次根式問題的過程中，能夠更加深入地理解二次根式的概念和特點，以便在今后的學習過程中盡量避免一些錯誤或不足，其他就是開闊了學生的視野，讓同學們發現了一些新的解題思想和解題思路，從而激發了學生對數學的學習興趣，增強了趣味性，從而使學生更加熱愛數學，更加努力學習數學，也能讓同學們充分認識到數學不但不是枯燥乏味的，而是趣味無窮的學科，是一門充滿探究性、創新性、挑戰性的學科.通過對上面問題的研究既培養了同學們的探究精神和成就感，也讓同學們體會到了發現的快樂，優化了自己的知識結構，發展了思維能力，培養了創新意識，真正讓數學課堂成為學生放飛潛能的天空，師生的共同樂園.