例說導數零點問題的處理策略

洪平鋒

【摘要】分析不同類型導函數零點問題的處理方法，幫助學生靈活利用導數研究函數性質，將導函數零點分可求零點、不可求零點與無零點的類型，逐一闡述導函數零點的求解規律.

【關鍵詞】直接求根；特值代入；設而不求；多次求導；等價轉化

導數是研究函數性質培養學生探究能力的重要工具，在利用導數解決函數相關問題的時候，往往需要對導函數的零點加以分析和運用，而平時學生習慣于常見的導函數零點問題，在遇到一些非常規的含參或超越方程時，往往會顯得束手無策，筆者對該問題進行了如下整理，以供參考.

一、直接求根法

此類函數的導函數零點是學生常見的方程，導數零點可直接通過解方程的形式求得.

例1 （2013高考重慶卷）設f（x）=a（x-5）2+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸相交于點（0，6）.

（1）確定a的值；

（2）求函數f（x）的單調區間與極值.

解 （1）a=12.

（2）由a=12知，f（x）=12（x-5）2+6lnx，f′（x）=x-5+6x=（x-2）（x-3）x.

令f′（x）=0，解得x1=2，x2=3.當03時，f′（x）>0，故f（x）在（0，2）與

（3，+∞）上為增函數；當2

由上可知，f（x）在x=2時取得極大值f（2）=92+6ln2，在x=3時取得極小值f（3）=2+6ln3.

二、特值代入法

此類題型的導函數存在零點，但因為是含有lnx或ex的超越方程，所以在求零點時，一般需要先做特值代入，然后再部分求導證明導函數零點就是所代入的特值.

例2 （2013高考北京卷）設l為曲線C：y=lnxx在點（1，0）處的切線.

（1）求l的方程；

（2）求證：除切點（1，0）之外，曲線C在直線l的下方.

解 （1）l的方程為y=x-1.

（2）令g（x）=x-1-lnxx，則原題等價于證明：x>0且x≠1時，g（x）>0恒成立.g′（x）=x2-1+lnxx2，將x=1代入得g′（1）=0.當01時，x2-1>0，lnx>0，所以g′（x）>0，故g（x）單調遞增.所以，當x>0且x≠1時，g（x）>g（1）=0，即除切點外，曲線C在直線l的下方.

三、設而不求法

此類導函數零點存在，但因為是超越方程或含參形式導致零點不可求或求解非常麻煩，所以可以考慮“設而不求”的技巧，利用整體代換的方式求解.

例3 設函數f（x）=ln（x+a）+x2，若f（x）存在極值，求a的取值范圍，并證明f（x）的所有極值和大于lne2.

解 函數f（x）的定義域為（-a，+∞），f′（x）=1x+a+2x=2x2+2ax+1x+a.

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四、多次求導法

此類導函數零點不存在，但是可以證明該導函數在定義域上恒正或恒負，所以可以通過多次求導的辦法求出導函數的最值，判斷導函數的符號后得到原函數的單調性.

例4 （2010高考安徽卷）設a為實數，函數f（x）=ex-2x+2a，x∈R.

（1）略；（2）求證：當a>ln2-1且x>0時，ex>x2-2ax+1.

綜合上述，導函數零點主要有可求零點、不可求零點和無零點三種呈現方式，對可求零點則直接求解或用特殊值法代入，對不可求零點則一般采用“設而不求”的解決辦法.當然，對一些含超越方程形式的導函數零點問題，等價轉化也是化簡運算的一種有效途徑.一言以概之，多對平時我們所遇到的問題加以整理概括，才能不斷提高學生分析問題與解決問題的能力.