一道期末試題的多種解法

曾翠華

新人教版《數學》八（下）期末考試，主要考查一次函數、勾股定理、平行四邊形等知識.我區教研室擬定的期末試卷第25題，要求證明一個角為90°，此題給了學生多角度的思維空間，既充分考查了學生對現有知識的掌握程度，又考查了學生對知識的綜合應用能力，有一定的區分度.學生在解答過程中，有近二十余種不同的解，其解題策略有多種，具體闡述如下：

原題 如圖，直線y=-12x+52交直線y=kx （k>0）于B，平行于y軸的直線x=7分別交這兩條直線于C，A兩點，且AC=15，求∠OBC的度數.

分析 如圖1，由C為直線y=-12x+52與直線x=7的交點知C（7，-1），于是CD=1，又AC=15，∴AD=14.

由A（7，14）在直線y=kx （k>0）上，∴k=2，可以得到B（1，2）.

具體求∠OBC度數為90°的解題策略大致為以下四種：

策略一：運用勾股定理的逆定理證明結論

證法（1）：圖1中，設BC交x軸于P，由P（5，0）知OP=5，作BH⊥x軸于H，∴OH=1，BH=2，于是HP=4，又OB=5，BP=25.

策略二：運用定理“直角三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這是個直角三角形”

證法（4）：如圖1，取OP中點G，連OG，∴G（2.5，0），

證法（5）：如圖1，取AC中點G1，證AG1=BG1=CG1，得∠OBC=90°.

在短暫且緊張的考試條件下，能夠及時、準確地應用平行四邊形中的相關定理，說明這部分同學對平行四邊形的知識掌握得全面、靈活.

策略三：利用“同一法”證明結論

證法（6）：如圖1，作OF⊥直線BC于F，設BC交y軸于M，M（0，2.5），

∴OM=2.5，MP=525.由MO·OP=MP·OF，有2.5×5=525·OF，∴OF=5.

于是OB=OF，由B，F都在直線MC上，所以B，F重合，于是∠OBC=90°.

此法簡潔，“面積法”與“同一法”有機結合，反映出學生思維多樣有深度.

策略四：利用尋找或構造全等三角形的方法證明結論

無論是哪一種證法，都展示了學生們思維的火花，更體現了教師在平時教學中，注重對學生思維的訓練，注重知識的延伸與拓廣，這些經驗、方法，值得每一位從教者學習與借鑒.