談2012年全國卷（理二）第22題的解答

張兵

題目（2012年全國卷（二）第22題）：

函數f（x）=x2-2x-3，定義數列{xn}如下：

x1=2，xn+1是過兩點P（4，5），Qn（xn，f（xn））的直線PQn與x軸交點的橫坐標.

（Ⅰ）證明：2≤xn

（Ⅱ）求數列{xn}的通項公式.

原解答首先用數學歸納法證明（Ⅰ）中不等式，然后通過構造新數列bn=xn-3得到一個等比數列從而求出了通項公式.筆者經過思考，認為既然題目要求出通項公式，那么就沒有必要用數學歸納法證明（Ⅰ）中的不等式了，直接對通項公式證明不等式應當更直截了當.另外，原解答中為什么要令bn=xn+3，無法向學生解釋清楚.文獻用特征根的方法進行完整的論證，講清了bn=xn+3的來歷，問題是面對這種求通項公式的問題，只有用特征根法才能講清楚嗎？

筆者在做此題時，一個想法是將遞推公式逐步化簡再進行代換.

完全沒有必要用數學歸納法.

這個方法可以說自然流暢，水到渠成，沒有任何難解之處，其中最漂亮的一步是

yn+1=6-5yn中將6改寫成5+1，從而得到yn+1-1=51-1yn.這個方法也不是無源之水，它來自于下面一題：

再作代換，等等.比較一下，會發現這兩題本質是相同的.一套戰術組合看似復雜，其實每一步都是必然的，毫無技巧可言.相信經過高三綜合訓練的同學都會做這道題，那么在做上面一題時應當能產生聯想.調動已有的知識儲備，使解題變得簡單、自然、順暢，這是一種解題智慧.

【參考文獻】

沿廷武.巧設特征方程，妙解數列通項[J].數學通訊，2012年第11，12期（上半月）.