淺論中學數學類型題中多題歸一思想

岳芳芳

數學題目的類型多，形式各異，題設和結論千變萬化，真可謂“題海”.如果教師在教學過程中選擇課本中比較有代表性的習題，重點培養學生形成有效的學習策略，注重引導學生自主發現許多題目雖然變化萬千，但是存在著“質同形異”，可以激發學生對于這個知識不斷向深層面的探索，學生所掌握的知識也可以縱向加深，輕松地提高了學生分析問題和解決問題的能力.下面我們將選擇初中八年級下冊課本中一道典型的課后練習題作為范本進行說明，如：

圖 1已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，且EF交正方形外角的平分線CF于點F，求證：AE=EF.（提示：取AB的中點G，連接EG）

這是課后復習題中的一道題，在八年級學生剛剛學完本章節知識，如果沒有提示的情況下，想獨立解決這個問題，是有一定的難度的，通過提示學生知道解決本題只需通過添加輔助線，構造全等三角形，利用正方形和全等三角形的性質及判定來進行證明、求解，關鍵是要有畫正方形中輔助線的能力.意在考查學生對基礎知識和基本技能的掌握程度，培養學生的觀察、分析、概括、歸納及語言表達能力.

具體的解題過程可以如下：

證明：取AB的中點M，連接EM.

其中滲透著轉化、數形結合的數學思想，我們可以引導學生解題方法是添加輔助線，構造全等三角形.

首先引導學生從條件入手，通過觀察圖形，自主探究，再進行合作交流，組內、組間充分討論后，概括出作輔助線，構造全等三角形，利用全等三角形的性質證明線段相等的結論.

本問題對于學生來講，因為課本中原題目中已有提示告訴學生輔助線的做法，所以在解決這個問題的方面上基本沒有障礙，由正方形的性質自然聯想到邊相等、角相等.在構建的全等三角形中得出深一層的結論.

但是當我們運用一題多變的教育方式進行一定的變形時，此時如若沒有上題作為前提的話，對于學生來說這道題還可以輕易解決嗎？如變形題1：

圖 2如圖，如果把原題中“點E是BC邊的中點”改為“點E是BC邊上的任意一點”，其他條件不變，請你猜想AE=EF的結論是否還能成立，并證明你的猜想.

學生通過上一問題的解決，明確要結合圖形，添加輔助線，利用全等三角形的性質證明線段相等是解決本題的關鍵.再一次讓學生進一步清晰輔助線的畫法、全等三角形的判定、性質和正方形證明題之間的聯系.在幾何題目中，首先要讀懂圖形，理解題意，深入挖掘題中隱含條件，掌握方法，雖然條件或結論的形式或圖形發生變化，而本質特征卻不變.

經過兩道題目的解決發現，以上兩個題目的實質完全相同，對于題目1，學生易于由中點推斷線段的相等來助于解決問題，但學生對變形1則感到無從下手.因此，對這些“質同形異”的題目，要善于指導學生拋開表面的限制因素，抓住此類題型的本質特征，相對于問題的解決就會起到決定性作用.我們進一步看變形2：

圖 3如圖所示，如果把原題中的“點E是BC邊的中點”改為“點E是BC邊的反向延長線上的任意一點”，其他條件不變，請你猜想AE=EF的結論是否還能成立，并證明你的猜想.

這個變形略有難度，著重考查學生對此類變形后圖形添加輔助線解決數學問題常用方法的靈活運用，由前面問題的解決，學生會容易找到解決問題的關鍵是利用全等三角形的性質得出結論，本題設計意圖是轉變思路，增強學生的探究意識，同時要體會到數學知識不是孤立存在的，它們之間會互相轉化，有著某種必然聯系.隨著難度的不斷增大，卻能體現出多題歸一的思想，既能體現出知識之間的縱橫聯系，同時也能培養學生的思維拓展效果.盡管題目條件這樣的改變，原題中結論依舊是保持不變的.

圖 3如圖3，AE=EF，理由為：

通過對本題的解決和幾個變式的拓展，可以使學生根據不斷變化的情況，對原來的思維進程和解決題目的方法作出及時的調整，把大部分學生從過去解決問題的思維定式中及時地拯救出來，大大地提高了學生對知識掌握的程度.我們啟發學生對幾何問題的思考和歸納，引導學生自主探索，鼓勵學生合作交流，獲得廣泛的數學經驗.變式研究之前，讓學生分析母題的構造及特點，滲透解題思想，即構造正方形中常用的輔助線，利用全等證明線段的相等的理念，從特殊到一般，運用數學轉化的思想，通過不斷的變化，建立新與舊、已知與未知的聯系，有助于學生關注問題或概念的不同方面，讓他們覺得有新的理念出現，讓他們學會從不同的角度看問題，因而加深對題意的理解，讓學生在充分的交流與合作中加深對問題的認識.學習數學不只是為了掌握一些基本知識、基本技能，更重要的是可以提高學生的發散思維能力、化歸遷移思維能力和思維靈活性，激活思維、學會思考、解決問題.

上例中的幾個問題，內容和形式各不相同，但實質卻是相同的，有著相同的解題規律，有著一樣的解題技巧，甚至完全相同的結果，圖形的變化形式多樣，通過這些變化使圖形化靜為動，動靜結合，使數學問題更具魅力，中考題中也經常出現源自課本題目的改編題，變化多端，卻萬宗歸一.這樣可以提高學生解決問題的興趣，本問題學生可以自主探究，或小組合作，通過畫圖、分析、論證得出恒成立的結論.

在我們數學的課堂教學中，這種一題多變的典型題目比比皆是，形式也多種多樣，有的是改變條件，保留結論；有的是保留條件，改變結論；當然也有同時改變條件和結論，甚至可以將原題中的結論和條件互換后產生新的問題.可以通過重點剖析這些典型習題，讓學生分析結論，并加強鍛煉引導和推廣，從橫向和縱向兩個方向加深學生的知識體系，如若教師可以讓學生理清千變萬化的題海中互相牽連的關系，能使學生把相似的問題歸為一類，總結解題規律，做到熟一題，通一類，脫離“題?！?，數學課必將成為大部分學生的樂趣.以此可見，在復習過程中，要有意識地引導學生注意課本例題、習題以及常見考題之間的內在關系，尋找同一類的類型題，適當進行改變題設、結論，加強鍛煉學生對類型題的歸一練習，以不變應萬變，必定可以改善現今各個學校存在的數學學困生的一些問題，也能使得原本擅長數學的學生更加充滿自信地學習.

以上所談，僅為教學之略見.事實上，在數學教學中，使學生掌握數學思想、數學學習方法、數學解題策略比學習數學知識更為重要，它有利于培養學生的創造性思維能力和思維的靈活性、深刻性，使學生從“學會”到“會學”以至于“會用”到“創造發明”，這也是數學教學的目的之一.