初中數學教材例題與習題二次開發的實踐與思考

朱小利

【摘要】數學教材中的例題、習題從某種程度上體現相關數學理論知識，并蘊含重要的數學思想與解題方法，一方面具有典型的示范作用，另一方面具有一定的開發價值.本文結合教學實踐中的相關案例，從開發例題、習題的背景、條件、結論三個方面闡述例題、習題二次開發的策略，有效提高課堂效率，培養學生分析問題、解決問題的能力，促進學生邏輯思維的發展.

【關鍵詞】例題習題；二次開發；策略研究

在初中數學課堂教學過程中，例題、習題的講解環節是課堂中教學中必要的環節之一，那么作為一名教師如何更好地利用教材中的例題、習題，對學生提高學習數學的興趣，增強學好數學的信心起著至關重要的作用.所謂例題、習題的“二次開發”，主要是指依據新課程標準，對數學教材中的例題、習題進行適度增刪、調整和加工，從而使其更好地適應具體的教育教學情景和學生的學習需求.因此，“二次開發”好教材中的例題、習題，才能使學生更好地掌握基本知識與基本技能，培養學生的推理能力與創新意識，從而有效地提高課堂教學效率.

一、初中數學教材例題、習題的教學現狀與價值訴求

（一）教學現狀

教材中的例題、習題因為其特殊性，具有很強的開發性，是教師在教學過程中非常重要的教學資源.但是在日常教學過程中，經常會看到以下情景：

教師PPT展示題目：已知在直角坐標系中，四邊形ABCD四個頂點的坐標分別為A（-3，-2），B（1，-1），C（3，2），D（-1，1），四邊形ABCD是不是平行四邊形？請給出證明.（浙教版八年級下冊第116頁第4題）

在教學過程中教師對例題、習題的處理方式有：1.教師一言堂，自己完成讀題、分析、講解題目；2.學生自己看題，讓有解題思路的學生講解題目；3.教師自選其他題目代替例題，教材中的例題讓學生課后自學.可見在平時的教學過程中，教師并沒有充分利用教材中的例題與習題的潛在價值，沒有在教學過程中對例題與習題深層次地挖掘與延伸.

（二）價值訴求

有效地對教材例題、習題進行“二次開發”具有一定的教學價值.第一，教師根據自己已有的教學經驗對教材例題、習題進行“二次開發”，不僅體現出教師自身的專業修養，還能在二次開發中不斷地提升教師的專業水平；第二，對教材例題、習題的“二次開發”充分服務于新課程標準，能不斷提高學生的分析推理能力、解題問題的能力，促進學生多角度分析問題，使學生在解題中能融會貫通、舉一反三；第三，教材例題、習題的“二次開發”，大大提高數學教學的有效性，學生學到的是思想方法，是情感體驗，是個性發展，學生會學、樂學.愛因斯坦說過：“學校教給學生什么樣的知識最有價值？那就是學生離開學校許多年之后，還留在學生大腦中的那一部分東西.”而這樣的教學，學生所形成的能力，是不會隨著時間而消逝的.

二、初中數學教材例題、習題“二次開發”的教學實踐

教師如能在課前結合教學要求與學生實際，精心設計教學環節，并在課堂教學中給予正確引導，在思考、探究問題的過程中，充分挖掘例題、習題的潛在功能，就會使學生在原有的知識儲備的基礎上，建構起更加靈活、更為寬廣的知識網絡，更有助于學生學會學習，學會思考，學會創造.

（一）基于背景

在日常的教學過程中，教師有意識地對題目背景進行更換，將同一知識融入到不同的背景中，教師選擇的背景可以是學生熟悉的事物和具體的情景，讓學生在數學的世界里開拓出可供他們思索、探討和發展的用武之地，使數學課程更具現實性.

圖 1案例 如圖1，直線l表示草原上的一條河流.一騎馬少年從A地出發，去河邊讓馬飲水，然后返回位于B地的家中.他沿怎樣的路線行走，能使路程最短？作出這條最短路線.（浙教版八年級上冊2.1圖形的軸對稱例2）

分析 如圖，設P是直線上任意一點，連接AP，BP.以直線l為對稱軸，作與線段AP成軸對稱線段A′P，則AP+BP=A′P+BP.顯然，當A′，P，B同在一直線上時，A′P+BP最短，即路程最短.

如圖7，在平面直角系中，A，B兩點的坐標分別為A（-2，0），B（8，0），以AB為直徑的半圓P與y軸交于點M，以AB為一邊作正方形ABCD.

（1）求C，M兩點的坐標；

（2）在x軸上是否存在一點Q，使得ΔQMC的周長最小？若存在，求出點Q的坐標和最小值；若不存在，請說明理由.

分析 （1）依題意推出AB=BC=CD=AD，連接PM，根據勾股定理求出OM的值后可求出點M的坐標；（2）首先作M點關于x軸的對稱點M′，連接M′C，根據題意可知QM+QC的和最小，因MC為定值，故△QMC的周長最小.

以上題目只是同一知識點在不同背景下的應用，解決這種同一類的問題，我們可以通過研究它們之間的共性，找到其解題的一般規律，這樣一來，學習數學思維由集中到發散，再由發散到集中，知識不再是零散，而是有規律地儲存在學生頭腦中，既牢固又能得到靈活運用.

（二）基于條件

教材中很多的例題、習題具有一定的代表性，教師時常以其為載體，對例題、習題的條件進行改編和變式，這對提高學生的發散能力，鍛煉學生的思維都是很有幫助的.

圖 81.變更條件

案例：如圖8，△ABD和△AEC均為等邊三角形，B，A，C三點在同一直線上，連接BE，CD.求證：BE=CD.（浙教版八年級上冊2.3等腰三角形的性質作業本）

變更一：改編案例的條件

將“B，A，C三點在同一直線上”改為“△ABD或△AEC繞點A旋轉”，其余條件保持不變.

變更二：改編案例的條件

將“等邊三角形”改成“等腰直角三角形”，繼而改成“等腰三角形”“正方形”“任意正多邊形”，其余條件不變.

2.加強或弱化例題、習題的條件

在教材原題的基本上拓展變化，通過變更條件、加強條件與弱化條件等角度提出新問題，引導學生探索獲取知識，這樣不僅能使題目涉及的基礎知識得到強化，而且能提高學生對前后知識的整合能力，對培養學生的變通性能起到“以點帶面”的作用，有助于學生克服思維的單一性和片面性，提高創新思維能力.

（三）基于結論

笛卡兒說：“我所解決的每一個問題將成為一個范例，以用于解決其他問題.”教材中典型的例題、習題在日常教學中如同可再生資源，可以變化、引申、拓展，由一道題變出多道題，挖掘這些具有啟發性的題目不僅可以提高課堂效率，還能有效激發學生的思維，提高學生解決問題的能力.

圖 14 1.挖掘題目中其他結論

案例 如圖，△ABD和△AEC均為等邊三角形，B，A，C三點在同一直線上，連接BE，CD.求證：BE=CD.（浙教版八年級上冊2.3等腰三角形的性質作業本）

[結論開發一]圖中哪些三角形可以通過旋轉而得到？挑

選其中的一對三角形，指出旋轉中心及旋轉角度.

[結論開發二]求∠BHD的度數.

[結論開發三]求證：△AFG是等邊三角形.

[結論開發四]求證：FG∥BC.

2.挖掘題中隱含結論

案例

原題1：已知直角坐標系內四個點A（a，1），B（b，1），C（c，-1），D（d，-1），四邊形ABCD一定是平行四邊形嗎？如果你認為是，請給出證明；如果你認為不一定是，請添加一個條件，使它一定是平行四邊形.（浙教版八年級下冊第114頁第6題）

原題2：已知在直角坐標系中，四邊形ABCD四個頂點的坐標分別為A（-3，-2），B（1，-1），C（3，2），D（-1，1），四邊形ABCD是不是平行四邊形？請給出證明.（浙教版八年級下冊第116頁第4題）

挖掘結論：在平面直角坐標系中探索平行四邊形頂點坐標問題.

圖 15如圖，點A，B，C是平面直角坐標系中不在同一直線上的三點.

（1）如圖，以A，B，C三點為頂點的平行四邊形可以作出三個，分別以AB，BC，AC為對角線分類討論；

（2）若A，B，C，D四點的坐標分別為xA，yA，xB，yB，xC，yC，（xD，yD），

則xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD.

應用結論：（2011鄂爾多斯）如圖，拋物線y=-（x-1）2+4的頂點為A，與x軸相交于B，C兩點，直線y=-2x+6經過A，C兩點，且點C的坐標為（3，0），連接OA.（1）求出點B的坐標和直線OA的解析式.（2）直線y=m（0

圖 16①用含m的代數式表示線段EF長；②試求S與m的函數關系式，且當m為何值時，S有最大值？

（3）設直線y=m與y軸交于點Q，則在拋物線上是否存在這樣的點P，使以點Q，P，C，B為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標.

分析 本題第（2）小題著重考查平行四邊形的性質等重要知識點，綜合性強，能力要求較高.在解決有關拋物線與平行四邊形的問題中，關鍵是要靈活應用上述結論，達到解一題會一類.

因此，在平時的教學過程中，要注意總結與歸納，努力把問題中的一些共同的性質揭示出來，并應用它們解決更復雜的問題，有效地培養了學生思維的靈活性、廣闊性、創新性，使學生零散的思維聚集為有序的推理，獲得對表象體驗的濃度認識.

三、實施“二次開發”的思考

1.“二次開發”過程中要重視學生開發的主體性.在對教材例題、習題二次開發過程中，教師在不知不覺中會將重點放到例題、習題的處理中，會不斷花時間地對例題、習題進行補充、拓展、加深，在這個過程中經常會忽略學生的主體性，因此，在教學過程中，對例題、習題的內在潛能挖掘是必要的，但不能忽略學生在教學過程中的主體性，使學生在教學過程中積極地、目的明確地、主動地投入到教學活動中.

2.“二次開發”過程中培養學生的總結歸納能力.教師在對例題、習題二次開發過程中，可以讓學生嘗試地對例題、習題進行歸納整理，可以讓能力強的學生利用自己已知的知識嘗試對題目進行開發，這樣不僅可以讓學生親自發現其實很多題目是有共性的，從而提高學生的學習能力.

3.“二次開發”過程中教師應不斷地提升自己的專業水平.在新課程標準下，作為教師應該轉變原有的教學模式，不斷適應新課程標準，教師之間應不斷地交流、合作，教師可以把教學過程中的成功與失敗、教學心得、教學案例等及時積累，不斷累積，因為只有教師自己本身不斷鉆研，不斷充電提高，才能更好地指導學生學習.

四、結束語

總之，教材例題、習題的二次開發，一方面使教師在教學過程中能靈活使用教材中的例題、習題，提高教師自身的專業素養，使教學達到“事半功倍”的效果，另一方面還能在提高學生學習數學的興趣的同時，也提高學生的解題能力和探究推理能力，有利于促進學生各方面更好地發展.