高等數學教學內容與教學方法改革的幾點建議

摘 要：針對我國高等數學教學的現狀及出現的問題，通過比較國內高等數學教材和國外高等數學教材的差異，提出了在高等數學教材的編寫、在高等數學教學內容等方面改革的幾點建議。

關鍵詞：高等數學；教學改革；國內外教材差異

中圖分類號：G642.1文獻標識碼：A文章編號：2095-7394（2015）04-0094-04

0 引言

培根說：“數學是科學的大門和鑰匙”。數學是科學技術的基礎，高等數學是理工科院校的重要的基礎課程，是幾乎所有理工科專業課的基礎。無論是物理、化學、經濟還是工程技術等其它專業，在其專業課的教材里，很多專業概念都要用到數學模型來表示，可以毫不夸張地說，高等數學學不好，整個大學的課程就不可能學好。學習高等數學，可以培養學生的邏輯思維能力以及分析問題、解決問題的能力，學生對高等數學內容掌握的情況，不僅直接關系到后繼數學課程（復變函數、概率論與數理統計）的學習，同時也影響到專業課的學習，而且對學生今后學習、工作能力的提高和發展都有著深遠的影響。[1]

自從1999年大學開始“擴招”以來，我國的高等教育已經由精英教育過渡到大眾教育，高等院校大規模的“擴招”，提高了國民的整體文化素質，縮小了我國與發達國家的教育水平的差距，但同時也產生了一些負面影響。為了適應這種情況，許多教育工作者已經進行了一些改革。[1-4]但是由于大眾化教育的快速推進，使得高等數學的改革明顯滯后于社會的發展，教學內容和教學方法的改革力度還遠遠不夠，針對性不強，本文以國內外高等數學教材的差異為切入點，談談本人對高等數學教學改革的幾點建議。

1 高等數學教學的現狀及出現的問題

1.1 高等數學課程的設置

高等數學的課程在高等院校中是作為公共基礎課設置的，理、工、農、醫、商各專業都要開設高等數學課程，開設范圍非常廣，也就是說學習高等數學的學生占很大比例。高等數學內容繁多、概念定理抽象，要有一定的中學數學基礎才能進行學習。在高校大擴招背景之下，學生素質的下降、師資力量的不足以及某些教育教學管理部門指導思想的偏差，導致高等數學學時的減少。現在高等數學學時一般安排160～176學時，微積分安排96學時，相對擴招之前，學時減少了很多，教師為了在規定的教學時間內完成教學任務，需要對教學內容做到詳略得當，重點突出，降低難度。對學生來說，學時減少，意味著課堂訓練的時間減少，加大了學習的難度。

1.2 學生的數學基礎平均水平降低

自從1999年我國大學開始“擴招”以來，大學的招生人數從1998年的108萬，大幅增加到2014年的698萬人，錄取比例由1998年34%增加到2014年的74.3%，“擴招”導致錄取的學生文化素養較“擴招”之前降低，同時，引起高校師資力量的缺乏。這些情況又導致高校教學質量下滑和基礎設施的不足，同時，學生的綜合素質也逐年下降。學生普遍反映高等數學難學，不愿意學，不知道學習高等數學有什么用途，缺乏學習的動力和興趣，認為高等數學是一門非常枯燥且沒有實際應用價值的課程。由于師資力量的缺乏，高等數學都是合班上課，幾十人甚至上百人在一起聽課，教學效果難以保障。在高等數學課堂上，有的學生上課埋頭看手機、打瞌睡、看其它書的情況越來越嚴重，甚至曠課的現象也時有發生。出現這些狀況是有多方面原因的，除了大學擴招，導致學生質量參差不齊，總體質量下降以外，還有許多方面的問題值得廣大數學教育工作者探討。

江蘇理工學院學報第21卷

第4期

黃金城：高等數學教學內容與教學方法改革的幾點建議

1.3 高等數學教學內容與中學數學教學內容銜接不當[2]

國內高等數學教材的第一節一般都是安排函數的相關內容[5-6]，主要是對集合、映射、函數概念的復習，將基本初等函數中的余切、正割、余割函數及反三角函數作為初等數學中已經講過的內容來處理，實際上，初等數學里只詳盡講授了正弦、余弦、正切這三個三角函數，而對于余切、正割和余割函數及反三角函數并沒有講解。在高等數學教材里有關三角函數及反三角函數求極限、求導數的內容，默認了學生已經掌握這些知識的前提下來用的。在高等數學里，有關三角函數的平方關系式1+tan2x=Ssc2x，1+cot2x=csc2x的應用較多，比如用基本積分公式求積分，用第二換元法求積分時經常要用到這幾個平方關系式，但是初等數學并沒有給出這兩個平方關系式。初等數學改革后，三角函數的和差化積公式在初等數學教材里已經刪掉了，但是在高等數學里卻有大量的習題要用到這些公式。初等數學改革后，極坐標在有的省份已經不講了，而在高等數學中，用定積分的求平面曲線的弧長，利用極坐標計算二重積分，利用柱面坐標計算三重積分都要用到極坐標的相關知識。針對這種情況，許多教師處理的方法是在用到這些知識時臨時補充，這樣的做法對學生來說感到唐突，使學生越發感覺高等數學是一種灌輸式的教學。由于學生對這些新補充的知識沒有得到相應的訓練，很多學生在用到這些公式解題時不能得心應手。面對初等數學的改革，高等數學的改革顯得被動而又迫切，高等數學的改革滯后于初等數學的改革，這種情況對學生學習高等數學課程非常不利。

2 高等數學教材和西方國家高等數學教材的差異

我國高等院校使用的高等數學教材源于前蘇聯的教材體系，在內容的組織和陳述方面注重系統性、嚴密性、精確性，廣大的高等數學教師在授課中或多或少受到教材的影響，授課中也比較注重內容的邏輯推理，這種教材和教學方式在精英教育時代為培養眾多優秀的卓越人才作出了貢獻。但是，在推行大眾化教學的今天，我國經典的高等數學教材顯得跟不上時代的變化。二戰之后，美國的高等教育規模發展迅速，至上世紀60年代末，在校大學生數超過18～21歲青年人口的一半，美國高等教育已經先于中國幾十年達到大眾化教育的階段。美國的高等數學教學在近七十年來經歷了巨大的改革，其中一些改革的原因是由于高等院校擴招所引起的，這與我國目前高等數學教學所面臨的情況非常相似，美國的高等數學改革已經取得了一些舉世矚目的成就，美國的教育思想值得我們去學習和效仿。

近幾十年來，美國在高等數學教材建設和改革方面已經取得突出的成就。我國高等數學教材和美國國內高等院校所使用的高等數學教材[7-8]相比存在以下幾點差異。

2.1 國外的高等數學教材起點較低

比如《托馬斯微積分》在第一章介紹預備知識就有72頁內容之多，詳盡講解了集合函數等相關知識，非常有利于學生自學這些預備知識。國內的教科書一開始就介紹數列的極限，并且講解數列極限的“ε-N”定義的內容比較多，例題和習題側重于用數列極限的定義證明極限，本來數列、函數極限的定義非常抽象，很難理解，若過多地講解用極限的定義證明，對有些學生來說相當于“當頭一棒”，一開始就被搞糊涂了，從而喪失了繼續學習高等數學的興趣和信心。

2.2 國外的高等數學教材比通俗易懂

概念的引入都是從生活中大家比較熟悉的具體的一個或幾個相關的例子開始，然后再引出定義。比如《托馬斯的微積分》在第十四章第五節引入“方向導數”的概念之前首先圖文并茂地舉了等高線與河流方向的關系這樣一個例子，讓讀者既明白了為什么要學習方向導數，又懂得了利用方向導數可以解決哪一類的實際問題。國內的高等數學教材大多是直接給出方向導數的定義，然后給出計算方向導數的例題，令學生不知道為什么要研究方向導數，學了方向導數有什么用途。國外高等數學教材中復雜的定理及其證明較少，比如柯西（Cauchy）中值定理一直是令初學者比較頭疼的內容，《托馬斯微積分》就沒有介紹這部分內容，而國內的教材都介紹了，而且要求學生用柯西（Cauchy）中值定理做一些比較難的證明題。

2.3 國外的高等數學教材特別重視數學的應用

選用的例題和習題范圍很廣，例題由易到難，逐步過渡，適合不同層次的學生使用。大量的例題、練習題來源于實際問題，文字敘述比較長，將實際問題描述得非常具體，注重交代問題的來龍去脈，注重實際問題的數學建模，內容涉及到自然科學、社會科學以及工程技術等領域，有的問題和學生的專業緊密結合。比如帶有實際意義的數值計算、數值估計、數值逼近的習題，利用數學軟件計算的習題或帶有研究探索性的題目等。教材中的應用題數量多，覆蓋面廣，所用問題來自生活實際，給出的數據也真實，不少應用題反映了當代科學發展的新成果，緊跟科技發展的步伐，給讀者耳目一新的感覺。而國內高等數學教材所配備的例題和習題缺少這些優點，習題不夠豐富，題型變化較少，特別是有真實數據、符合生活實際的應用題非常稀有，應用題主要集中在微積分在物理、幾何中的傳統應用，這些應用雖然經典，但是缺少時代氣息，使人感覺所學知識與實際生活中的問題沒有聯系，即使有少量其它應用題，也是大多直接給出數學模型，配備習題的目的主要是為了鍛煉學生利用定理證明利用公式做題的能力，側重于計算能力的培養，這種情況影響了學生學習高等數學的興趣和積極性。學完高等數學課程后，許多學生不會應用所學知識解決實際問題，大部分學生只會套用公式解題。學生對學習高等數學這門課程的用途不明確，感覺是為了考試獲得學分而學的，這種狀況使高等數學課程失去了應有的意義。

2.4 國外高等數學教材特別重視計算機的應用

現代計算機技術日新月異，隨著計算機技術的發展，大量數學應用軟件出現，利用計算機可以便捷地解決很多復雜的數學計算問題，美國高等數學教材配備了大量要求用計算機技術解決的問題。我國的高等數學教材過分注重理論及邏輯推理，缺乏對計算機技術的應用。

2.5 國外高等數學教材非常注重基本概念、定理及習題與圖形的結合

使得晦澀難懂的抽象內容變得直觀通俗易懂。比如，在講旋轉曲面及柱面時，所繪制的圖形動態、直觀地展現了旋轉曲面及柱面形成的過程，給人感覺非常形象、具體。在講解二重積分的概念時，國內外高等數學教材都是用求曲頂柱體的體積引入的，將曲頂柱體分割成若干個細曲頂柱體，并用細平頂柱體的體積近似細曲頂柱體的體積，《托馬斯微積分》為了呈現分割越細，近似程度越好的效果，分別取了分為16，64，256個細曲頂柱體來展現，而國內高等數學對這部分內容僅限于文字表述。《托馬斯微積分》的印刷為彩印，同一坐標系下，不同的曲線、曲面、幾何體用不同顏色繪制，使得教材內容充實又豐富多彩。

3 改革措施

目前，應盡快改革這種現狀，以滿足高等教育自身和現代經濟社會發展的需要。

首先，要進行教材體系的改革。針對我國高等教育的現狀編寫合適的高等數學教材，既要考慮和初等數學的銜接，又要考慮教材的實用性、應用性，克服經典教材的缺陷，借鑒國外優秀高等數學教材的優點。

其次，在高等數學教學時要降低講授的難度。對高等院校的教師來說，在講授抽象的定理概念時，要用盡可能多的通俗的事例加以說明，對復雜深奧的定理的證明，要略去其復雜的理論推導，而重點介紹其數學思想、方法；對于學生不太熟悉的內容，如極坐標、反三角函數等內容，要補充講解其內容，做好與高中數學的銜接。為了應對課時減少，在上課時要詳略得當、重點突出，注重培養學生的計算能力。

再次，要強調數學的應用性，讓學生直觀地體驗高等數學的地位和作用。要與時俱進，在備課時，可以結合學生的專業，補充一些實際的應用問題，也可以通過一些例子訓練學生數學建模的能力，從而提高學生分析問題和解決問題的能力，讓學生不再對“學習高等數學有什么用”感到迷茫。

參考文獻：

[1]郭鵬，孫紅茹.教學型高校“高等數學”課程建設探析[J].北京工業職業技術學院學報，2006，5（3）： 67-69.

[2]朱濤.工科高等數學教學的一些思考[J].科技信息，2014（2）： 75-76.

[3]李振祥.中美微積分教學改革的比較與研究[J].浙江工商職業技術學院學報，2006，5（2）：58-61.

[4]姜兆敏.關于如何做好高等數學與高中數學銜接的見解[J].四川教育學院學報，2010，26（7）：114-116.

[5]閆德明.高等數學[M].北京：清華大學出版社，2012.

[6]同濟大學數學系.高等數學[M].7版.北京： 高等教育出版社，2014.

[7]George B Thomas，Maurice D Weir，Joel Hass，et al.Thomas′Calculus[M].11th Edition.New Jersey： Addison Wesley，2004.

[8]James Stewart.Calculus[M].Belmont： Thomson Higher Education，2008.

Some Suggestions about How to Reform Contents and Methods in Advanced Mathematics

HUANG Jin-cheng

（Mathematics & Physics Teaching Dept.，Hohai Univ.，Changzhou 213022，China）

Abstract：By comparing the differences between domestic and foreign textbooks of advanced mathematics，some suggestions are proposed on textbooks and teaching contents on advanced mathematics in view of current situation and problems appeared in advanced mathematics in China.

Key words：advanced mathematics；reform in education；differences between domestic and foreign textbook

責任編輯 祁秀春