向量在解決高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

宋麗娜

【摘 要】 “向量”可以用來解決數(shù)學(xué)中的許多問題，因此教師在進行教學(xué)、學(xué)生在進行題目解答時要發(fā)揮“向量”的作用。本文對此進行了分析研究，教師首先要讓學(xué)生明白“向量”在數(shù)學(xué)習(xí)題中的價值意義，從而培養(yǎng)學(xué)生的向量解題思維，幫助學(xué)生在不斷的摸索中能夠找到更多的解題途徑和方法，培養(yǎng)學(xué)生的向量應(yīng)用意識。

【關(guān)鍵詞】 向量；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用；研究

高中數(shù)學(xué)問題相對于其他階段的數(shù)學(xué)問題而言具有一定的復(fù)雜性，并且高中數(shù)學(xué)知識也有著相應(yīng)的連貫性特點，所以針對一個題目會存在著多種解答方法。“向量”也可以用來解決數(shù)學(xué)中的許多問題，因此教師在進行教學(xué)、學(xué)生在進行題目解答時要發(fā)揮“向量”的作用價值，應(yīng)用到各類數(shù)學(xué)問題中去。

一、教學(xué)策略中體現(xiàn)“向量”的價值意義

向量在許多數(shù)學(xué)問題上能夠作為有效的手段進行問題解決，因此向量在數(shù)學(xué)教學(xué)中是一個非常重要的環(huán)節(jié)，教師進行向量基礎(chǔ)知識的教學(xué)中就應(yīng)該重視對向量的價值意義進行解釋，使得學(xué)生對向量的學(xué)習(xí)保持著一定的熱情，從而能夠重視向量知識的應(yīng)用。例如在學(xué)習(xí)“向量的加法”時，設(shè)a=（x，y），b=（x1，y1），向量滿足著平行四邊形法則和三角形法則，所以便可以得出AB+BC=AC，由此滿足向量公式：a+b=（x+x1，y+y1），并且a+0=0+a=a。這個知識點就是一個關(guān)于向量在平面圖形中的應(yīng)用問題，所以教師便可以讓學(xué)生進行猜想：平面問題的解決是否可以用向量知識來解答呢。這個問題就是“向量”價值意義的體現(xiàn)，促進學(xué)生在學(xué)習(xí)向量這個知識時能夠結(jié)合其他知識來進行思考，推動知識的結(jié)合應(yīng)用，充分把向量的價值意義能夠從其他類型的知識體系中體現(xiàn)出來。這也是教師教學(xué)策略的體現(xiàn)，讓學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識，尋找解決途徑。又比如“數(shù)乘向量”的學(xué)習(xí)，實數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa=λ·a∣。當(dāng)λ>0時，λa與a同方向；當(dāng)λ<0時，λa與a反方向；當(dāng)λ=0時，λa=0，方向任意。當(dāng)a=0時，對于任意實數(shù)λ，都有λa=0。需要追的是：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。這種數(shù)乘向量的知識也有著其重要的價值意義，規(guī)律中對λ的討論就是一種嚴(yán)謹(jǐn)性的數(shù)學(xué)意識，這在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要，因此向量知識也將此體現(xiàn)出來。而向量特殊的方向性，對整個數(shù)學(xué)問題的討論有著指導(dǎo)性作用，引導(dǎo)著學(xué)生更加注意到數(shù)學(xué)問題中的正負問題，這在其他類別的數(shù)學(xué)問題上也有著體現(xiàn)，所以向量的價值意義還在于對其他知識體系的映射，學(xué)生能夠通過向量的學(xué)習(xí)類比其他數(shù)學(xué)問題，這便是非常重要的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。

二、“向量”是一種解題的工具

對于數(shù)學(xué)題目的解決方法而言，向量更像是一種解題的工具，針對不同類型的題目，向量都能夠運用其中。學(xué)生有時遇到難題，不妨可以往向量這個知識點來考慮，也許會為自己的思路創(chuàng)造一個新的途徑。例如向量可以與線性規(guī)劃知識聯(lián)系起來，例如一道題目：“已知在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），M（1，1），N（0，1），Q（2，3），動點P（x，y）滿足不等式0≤向量OP·向量OM≤1，0≤向量OP·向量ON≤1，則z=向量OQ·向量OP的最大值為_______”這一道題目就充分將平面直角坐標(biāo)系、線性規(guī)劃等代數(shù)問題進行融合，學(xué)生利用向量的算法知識能夠得到一條解析式，而這條解析式就與“最值”問題直接產(chǎn)生著聯(lián)系，通過線性規(guī)劃便能夠得出題中所說要求的“最大值”。所以此題，向量作為一種工具把題目中的條件進行變性，從而跳到另一個知識體系的討論中去，理清了題目的思路，簡化的題目的問題。所以學(xué)生要學(xué)會進行觀察和分析，弄清楚向量在題目中的作用。

向量的工具性還體現(xiàn)在解三角形的問題上，比如題目：“已知三角形ABC中，坐標(biāo)依次是A（2，1），B（3，2），C（-3，1），BC邊上的高為AD，則向量AD的坐標(biāo)是_______. ”這道題目就是向量在幾何問題上的應(yīng)用，學(xué)生必須先對A、B、C三個點進行觀察建立相關(guān)的向量表示法，才能找到解題的突破口，此題中D點的坐標(biāo)是一個未知數(shù)，而通過其他三個點的向量標(biāo)示才能夠看出線段之間的聯(lián)系，D點作為一個未知點可以用未知坐標(biāo)表示法來與其他線段建立聯(lián)系，從而推斷出向量AD的具體坐標(biāo)。由此可見，向量的應(yīng)用在幾何問題上也能夠作為一種“工具”將看似復(fù)雜的問題簡化。所以學(xué)生必須意識到向量的“工具性”作用才能為自己的解題開創(chuàng)道路。

三、培養(yǎng)學(xué)生的向量應(yīng)用意識

向量不僅是一種聯(lián)系題目與解題思路的工具，更是一種解決題目的方法，許多問題也可以通過向量來考慮，也許會比傳統(tǒng)的方法更加省時省腦力。因此教師在進行教學(xué)時也要意識到向量知識是一種解題思路和方法，面對困難的問題時，向量也是一個值得考慮的方法，幫助學(xué)生快速組織思路、找到解題方法。例如在解析幾何問題中，常常會遇到已知某些點的坐標(biāo)，然后求另一個點的坐標(biāo)問題。針對這種情況的問題，學(xué)生們大多數(shù)會因為題目范圍是解析幾何，涉及函數(shù)運算的問題，所以會忽視其他知識的運用。所以很多學(xué)生往往是通過求方程解析式，然后建立方程組，根據(jù)一系列運算規(guī)律得出某點坐標(biāo)。而從向量的角度看，直接設(shè)立所求點的坐標(biāo)未知數(shù)，然后根據(jù)向量的幾何性質(zhì)建立相應(yīng)的函數(shù)解析式再來求出某個點的坐標(biāo)。明顯得出，向量知識在題目中的應(yīng)用會比傳統(tǒng)的解題思路要省力許多，放在考試上則會節(jié)約學(xué)生很多時間。所以教師在平時就要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用向量的意識，遇到難題時不要死停在傳統(tǒng)的思路上，不妨運用向量解題的方法或許會開明許多。

總體而言，向量作為高中數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)中的一個小部分，其功能和作用卻有著不小的影響。教師需要做的是首先讓學(xué)生明白“向量”在數(shù)學(xué)習(xí)題中的價值意義，從而培養(yǎng)學(xué)生的向量解題思維，幫助學(xué)生在不斷的摸索中能夠找到更多的解題途徑和方法。向量作為一個特殊的數(shù)學(xué)問題是值得學(xué)生去琢磨和學(xué)習(xí)的。

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