近世代數中“群在集合上的作用”教學探討

【摘要】群是近世代數中最基本的內容之一，群在集合上的作用是群論中的重要概念并且在組合計數上有著廣泛的應用。以培養學生應用知識的能力為目標，對近世代數中“群在集合上作用”部分在教學時進行內容優化，增加其在組合計數中應用環節的講解，以在實踐中的應用加強學生對知識的理解。

【關鍵詞】近世代數 群在集合上的作用 課程改革 教學實踐

【基金項目】商洛學院科研基金（12SKY011，13jyjx119）。

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）07-0147-01

1.引言

近世代數又稱為抽象代數，是以研究代數系統的性質與構造為主的一門學科。群是近世代數中最基本的內容之一，群在集合上的作用是群論中的重要概念，并且應用廣泛，尤其是在具有對稱性的組合計數問題上有重要應用，但這一部分內容在“近世代數”課程教學中是一個難點。一方面就其內容本身而言，完全體現了近世代數高度抽象的特點，另一方面它的應用又與其他學科相結合，因此在教學中，學生很難理解。同時，隨著高校改革的發展，加強培養應用型人才的培養不僅是一大批高校的改革方向，更是社會所需。我們在“近世代數”這門抽象程度高、推理邏輯性強的課程進行教學改革，以培養學生應用知識的能力為目標，對近世代數中“群在集合上作用”部分在教學時進行內容優化，增加其在組合計數中應用環節的講解，以在實踐中的應用加強學生對知識的理解。

2.“群在集合上的作用”教學過程

在大多數本科生的近世代數課程教材中都是把“群在集合上的作用”的概念和它的應用分開敘述，并且應用基本上都是在簡單幾何體上的計數的應用，缺少連貫性。這就使得學生在學習概念時，由于它的高度抽象性，學的僅僅是一知半解，只是單單記住它的形式；而到后面再學習它的應用時，對前面所學概念已模糊不清，對它的應用就更難理解了。

我們在教學時，嘗試把“群在集合上的作用”的概念和其應用放在一塊來講，打亂教材的編排次序，并且增加一些組合計數中應用的例子。

“群在集合上的作用的概念及其應用”講授時大概需要2個學時。第一個學時重點是群在集合上的作用的概念的講解，由幾何體的變換群，以正四邊形的全體變換（四種旋轉變換變換和四種鏡面反射變換）所構成的變換群入手，引出群在集合上的作用的概念，再回頭運用正五邊形、正六邊形和正四面體的例子解釋、驗證群在集合上作用的概念，加深學生對概念的理解。強調群在集合上的作用的重點是找準群，看清集合元素，理解好群對集合作用的條件。然后給出群在集合上作用的軌道的概念，結合前面講的例子，分析得出軌道的簡單性質。最后留給學生思考題：設有2種顏色的珠子，要做成有四顆珠子的手鏈，最多有多少種不同的方案？做一簡單分析，回應開頭正四邊形的變換群，同時引出下一節群在集合上的作用在組合計數上的應用。

第二個學時重點講解群在集合上的作用在組合計數上的的應用。以上一節的思考題開始，給出 Burnside 引理（也稱 Burnside 定理），引出與之類似的組合計數中經常用到的 Polya 定理。然后以求解在平面圖形和立體圖形的頂點上染色方案數為例，講解 Polya 計數定理的應用。平面圖形的染色先以均勻分為兩節的木棒、均勻分為三節，均勻分為n節的木棒染色再到四個珠子的手鏈、五個珠子的手鏈的染色方案，立體圖形主要以正四面體和正六面體為例。這樣舉例由淺入深，學生更容易理解接受。例題講解時重點放在分析變換群的構造，引導學生總結出圖形的變換群由旋轉變化和鏡面反射變化兩類構成，并且區分平面圖形和空間圖形的的不同特點。最后總結群在集合上的作用的概念和其應用，重點強調利用其計數時關鍵是群的構造。

3.教學效果分析

我們這樣對教學內容重新整合后，使得“群在集合上的作用”的概念及其應用聯系起來，不但在講解時節省了學時，并且增加組合計數中的 Polya 計數定理。從學生的作業和課后對學生的隨機調查中可知，學生對“群在集合上的作用”的理解較往屆學生有很大提高，學生對這部分概念不再是單單形式上記憶，而是體會到了群在集合上的作用的內涵，并且學會如何運用抽象的代數知識解決一些組合計數問題，體會到了代數知識的強大功能，提高了學習的興趣。

通過教學實踐的效果看，這樣把群在集合上作用的概念和它的應用結合在一塊講，使學生能夠通過應用更好地理解概念，對概念的理解的加深能夠更好的掌握它的應用；更重要的讓學生體會帶群在集合上作用的強大功能，潛移默化地培養了學生應用知識的能力，適應了培養應用人才目標的需求。

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作者簡介：

王曉（1980—），男，河南南陽人，碩士，講師， 研究方向：應用數學。