利用構造法巧解數學中的最值問題

☉陜西省西安市慶安初級中學 劉嵐英

利用構造法巧解數學中的最值問題

☉陜西省西安市慶安初級中學 劉嵐英

所謂構造法，就是根據題設條件或結論所具有的特征和性質，構造滿足條件或結論的數學對象，并借助該對象來解決數學問題的思想方法.運用構造法解決問題，要充分挖掘題設條件和結論的內在聯系，把問題與某個熟知的概念、公式、定理、圖形聯系起來，進行構造，使問題轉化，增強問題的直觀性.

例1如圖1，A、B兩地相距600km. AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路.點B到AC的最短距離為360km，現計劃在鐵路線AC上修一個中轉站M，再在B、M間修一條筆直的公路.如果同樣的物資在每千米公路上的運費是鐵路上的兩倍，那么，為使通過鐵路由A到M，再通過公路由M到B的總運費達到最小值，請在圖中畫出中轉站M的位置，并求出AM的長.

圖1

啟示：利用直角三角形中30°角所對直角邊等于斜邊的一半，構造AM與BM共線時的圖形解題.

例2在平面直角坐標系中，已知點A（-2，0）、B（0，4），點E在OB上，且∠OAE=∠OBA，將△AEO沿x軸向右平移到△A1EO1，連接A1B、BE1，當A1B+BE1取得最小值時，求點E1的坐標.

分析：如圖2，過點A作B1A⊥x軸，使B1A=BE=3，連接A1B1，構造△B1AA1≌△BEE1，則A1B1=BE1.要使A1B+BE1取得最小值，則BA1與A1B1共線，即B、A1、B1在同一直線上.

圖2

啟示：要求A1B+BE1的最小值，構造A1B與A1B1共線，因為兩點之間線段最短.

例3已知點A（0，4）、B（4，1），在x軸上有一動點P，則|PA-PB|的最大值是多少？

分析：如圖3，假設x軸上有一動點P，連接PA、PB，則有PA-PB≤AB.

PA-PB最大時，由圖知P、A、B三點共線.

則PA-PB的最大值為AB=5.

圖4

設AA1=m，則

啟示：利用三角形兩邊之差小于第三邊，當兩邊之差等于第三邊時，三點共線.

例4如圖4，∠AOB=45°，角內有一點P，PO=10，在角的兩邊上分別有兩點Q、R（均不同于點O），則△PQR的周長的最小值是多少？

分析：作點P關于OA的對稱點M，連接OM，作點P關于OB的對稱點N，連接ON，則MQ=PQ，PR=NR，∠AOB=∠2+∠3=45°.又∠1=∠2，∠3=∠4，則∠MON=2（∠2+∠3）=90°.

啟示：利用對稱性構造圖形.

構造法是求解數學問題的一種重要的方法，在數學學習中，要善于聯想、類比、分析、構造，充分利用典型數學模型來解決問題，這樣會讓陌生的問題變得非常熟悉，提高解決問題的能力.WG