注重過程再現培養思維品質

☉安徽省肥西縣上派初級中學 衛德彬

·安徽省合肥市衛德彬名師工作室·

注重過程再現培養思維品質

☉安徽省肥西縣上派初級中學 衛德彬

再現數學思維過程，一是在發現和提出問題的過程中充分再現其思維過程；二是在分析和解決問題的過程中充分再現其思維過程.具體表現為：知識結構的建立、推廣、發展的過程，以及解題方法和規律的概括、發展過程等.

現行數學教材中的許多內容大都簡化了定理公式提出和推導證明的過程，省略了其中發現和探索的過程.至于這些定理公式是如何發現的，解決問題的方法是如何想到的，對中學生來說有一種說不出的神秘感.如果教師在教學中照本宣科，無疑將阻礙學生思維的發展和能力的提高.因此，在教學中，教師應精心重組教學內容，再現數學知識發生過程的思維活動，為學生創設問題情境，教給學生發現、創造的方法，培養學生用數學的觀點和思想方法來研究、探索問題的能力，提高學生的思維品質.下面結合相關課題和教學實踐談一點做法與體會.

一、再現數學概念的形成過程，培養學生思維的目的性

決定數學教學效果的基本因素是：概念要明確.數學概念是從客觀世界中直接或間接抽象出來的，其定義大多通過“展示（或具體操作）事例—抽象本質屬性—推廣到一般同類事物”得出.因此，學生對數學概念的形成，必須建立在對事物的具體形象的認識即感性認識的基礎上，要引導學生通過觀察、分析、比較，找出事物的本質特性.所以教學中要充分運用直觀的方法，使抽象的數學概念成為看得見、摸得著、想得來的東西，成為學生親身體驗過的東西，這樣既可以幫助學生理解概念，又有助于引起學生學習的興趣.

案例1：在教學“正弦和余弦”的概念時，可分為三步進行，引導學生參與討論并逐步建立“正弦和余弦”的概念.

第一步，設置兩個問題.

問題1：在Rt△ABC中，已知斜邊和一直角邊，怎樣求另一直角邊？

問題2：在Rt△ABC中，已知∠A和斜邊，怎樣求∠A的對邊BC？

對于問題1，學生很快想到利用勾股定理解決；對于問題2，有些學生可能也想到用勾股定理，經嘗試無法解決，從而產生認知沖突——如何解決這類問題？以此激發學生探求的欲望.

第二步，引導學生探索發現.

（1）啟發思考.在Rt△ABC中，∠A的對邊BC和斜邊有什么關系呢？學生可能無從下手，此時，教師進行點撥，能否從∠A的特殊值中找關系？

（2）從探索特殊情況中發現規律.①當∠A=30°時，在Rt△ABC中，∠A的對邊與斜邊有什么關系？

圖1

③要求學生探討一下，當∠A=45°或60°時，在Rt△ABC中，∠A的對邊與斜邊有什么關系？

學生不難發現，在直角三角形中，當∠A=45°或60°時，∠A的對邊與斜邊的比值也是固定的值.

（3）由特殊到一般.引導學生大膽猜想：當銳角A取其他固定值時，∠A的對邊與斜邊的比值也是固定的值.

（4）證明猜想.引導學生利用相似三角形的知識證明此猜想.

第三步，引入“正弦和余弦”定義.

在實施“問題解決”的教學過程中，不提倡首先給出定義、公式、定理等結論，而是圍繞需要探索的內容進行“問題”設計，使之與學生原有的認識結構中的某些基礎概念建立起實質性的聯系或打破原有的“平衡”狀態.這樣，既符合教學內容的邏輯性，又符合學生的認識規律，調動學生的“知、情、意、行”協調統一地參與“問題解決”的活動，寓知識的發生、發展和規律的抽象概括、方法的揭示過程于問題系列活動之中，有利于培養學生思維的目的性.

二、再現數學定理（公式）的發現過程，培養學生思維的創造性

要使數學課堂教學作為一種活動過程來進行，就必須自始至終給學生參與活動的機會，滿足學生創造的欲望，使學生時時處于積極創造的狀態.教師應給學生提供一些有利于培養學生創造性思維的事例，引導學生通過計算、觀察，發現這些數學事實帶有普遍性的規律.

案例2：對于“三角形內角和定理”的教學，有不少老師已注意到突出定理結論的發現過程，利用剪拼方法，歸納得出三角形內角和為180°的結論.但是很少注意到再現定理被發現的過程，而這正是一個重要的思維環節.為此，我們設計如下的教學方案.

1.如圖2，a∥b，它們被c所截得的同旁內角和∠1+∠2=？

圖2

圖3

2.若a與b相交，如圖3，∠1+∠2仍然等于180°嗎？發生了什么變化？減少了多少？∠3跑到哪里去了？可以得到什么結論呢？

這樣的教學設計，再現了“三角形內角和”與“平行線性質定理”的關系，突出了它們的內在聯系.

再如，在根與系數關系定理的教學中，我們編擬了一套題目：

3.解答下列各題.

（1）求出下列方程的兩個根x1、x2.

①x2+3x-4=0；②x2-5x+6=0；③2x2+5x-3=0；④3x2-13x-10=0.

（2）計算每個方程的兩個根的和、積的值，并找出x1+x2，x1·x2的值與其方程各項系數的關系.

學生通過計算、觀察和分析，很快找出了兩根和與兩根積與其方程各項系數的關系，在此基礎上進一步引導學生猜想、歸納，并安排下述填空題.

4.填空題.

（1）設x1、x2是方程x2+px+q=0的兩個根，則x1+x2= _________；x1·x2=_________.

（2）設x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根，那么x1+x2=_________；x1·x2=_________.

通過以上計算、觀察、猜想及證明的過程，學生既動手，又動腦，提高了參與教學活動的積極性，培養了觀察、歸納的能力及創新意識.

三、再現數學規律的探索過程，培養學生思維的深刻性

課堂教學是師生的雙邊活動，教師的“教”是為了誘導學生的“學”.在教學過程中，我們應該根據教材的內在聯系，利用學生已有的基礎知識，引導學生主動參與探索新知識，發現新規律.這對學生加深理解舊知識、掌握新知識、培養學習能力是十分有效的.

案例3：在教等腰三角形性質定理：“等腰三角形兩底角相等”時，筆者進行如下教學設計.

先通過動手實踐（剪一個等腰三角形紙片并對折）發現兩底角相等，然后進行證明思路的探索.

（1）證明兩角相等，有哪些方法？這個問題可啟發學生積極思考，調動學生原有認知結構中關于證明兩角相等的知識和方法，起到“搜索”和“整理”的作用.

（2）這些證明兩角相等的方法能證明等腰三角形兩底角相等嗎？學生經過嘗試，發現幾種方法都不能直接應用，從而想到要改造圖形——作輔助線.

（3）如何作輔助線？聯系前面的動手實踐，發現對折把等腰三角形分成兩個全等三角形.同時也發現這條折痕是等腰三角形頂角的平分線，因而作頂角的平分線也可達到目的.

（4）還有其他作輔助線的方法嗎？經過討論、嘗試，學生發現作底邊上的高或中線也能解決問題.從而感悟到增添恰當輔助線的重要性及作輔助線的常規方法.

這樣設計可以有效地培養學生思維的深刻性，使學生學了一道題，掌握一片題.

四、再現解題思路的推導過程，培養學生思維的嚴密性

數學是一門邏輯性很強的學科，首先反映在系統嚴密、前后連貫上，每個知識都不是孤立的，它既是舊知識的發展，又是新知識的基礎.只有遵循中學生的認知規律，引導學生運用已有知識去推導新的結論，才能發展學生的學習能力.

實踐顯示，初中學生在解要求稍高的習題時，思維常常會產生偏差，造成解題不嚴密的問題.為此，要有針對性地設計一些討論題，讓學生展示思維過程，從而有針對性地進行輔導.

案例4：在教學一次函數后，筆者在課上設計了如下三道討論題：

（1）直線y=2x+4與坐標軸圍成的三角形的面積是多少？

（2）直線y=2x+b與坐標軸圍成的三角形的面積是多少？b與4有什么區別與聯系？

（3）若直線y=2x+b與坐標軸圍成的三角形的面積是4，如何求b？

第（1）題為第（2）題作鋪墊，以減少第（2）題的難度，第（2）題是第（1）題的推廣和擴充，第（3）題是讓學生逆向思考問題.通過討論，學生明確b是表示實數，不僅僅是正數，從而得出了完善的解.在此題的討論過程中不僅僅是滲透分類的思想，更主要的是使學生更好地掌握數形結合的解題方法，從而培養學生思考問題的嚴密性.

五、再現數學方法的思考過程，培養學生思維的廣闊性

數學思想方法是數學的精髓，是數學素養的重要構成之一，學生只有領會了數學思想方法，才能有效地應用知識，形成能力.因此，教學中，要有意識地讓學生領會到其中體現和滲透的數學思想方法.

問題1：以a、x為兩直角邊長的直角三角形的斜邊長是多少？并畫出圖形.以b、y為兩直角邊長的直角三角形的斜邊長呢？（聯系到x+y=c，學生可能會畫出圖4和圖5兩個圖形）

圖4

圖5

問題2：當點P在什么位置時（如圖4），AP+PB最短？

圖6

問題3：如圖6，要在河邊修建一個水泵站，分別向張莊（A）、李莊（B）送水，修在河邊的什么地方，可使所用的水管最短？

有了前面問題2的解決，學生能很快地解決問題3.

這一系列問題的探索與解決，體現了思維的創造性與廣闊性.在整個問題的解決中滲透了類比、聯想、猜想等創造性思維方式，通過策略與方法的體驗和操作，提高了學生的創造性思維品質.同時在問題解決教學中又自然地滲透了實際生活中的問題.

如果教師在數學教學活動中，重視問題的教學設計，悉心研究問題設計的科學性、藝術性，再現數學思維的過程，學生面對富有趣味和價值的數學問題，就能夠活躍思維、展開思維，去接受問題的挑戰，去探究知識的奧秘.那么，蘊藏在學生頭腦中智慧的種子就必然會發芽、開花和結果.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

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