基于數學過程的教學實踐

☉江蘇省張家港市塘橋初級中學 范文華

基于數學過程的教學實踐

☉江蘇省張家港市塘橋初級中學 范文華

《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》在知識技能目標中首次出現了過程性的目標，將獲取知識和技能的過程本身作為課程的重要目標之一.那么“數學過程”是什么？數學教學中有哪些過程值得關注？又該如何更好地去體現這些過程呢？這些都是我們每一位數學教師必須面對和需要思考的問題.

一、關于“數學過程”的理解

何良仆先生指出：“數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程.數學是世界的本質，世界具有數學描述的形式.數是一切事物的本質，整個有規定的宇宙的組織，就是數及數的關系的和諧系統.”

從教育角度來說，數學是一種精神，一種理性的精神.應該把掌握數學當作掌握自然界秘密的一把鑰匙.將其作為陶冶精神，訓練心智的一種工具.數學教育中重要的問題，不是教什么題材，而是教給學生更珍貴的東西——如何掌握題材.數學教育（尤其是基礎教育）的價值核心，不在于數學知識的掌握，而在于“數學過程”，在于經歷數學概念、公式、定理、法則的提出過程，數學結論的形成過程，數學思想方法的探索及概括總結過程，以及用數學的過程.即“抽象—符號變換—應用”的過程.學生通過數學教育，掌握基本的數學思想方法，學會數學式地思考.

從數學學習的角度來看，數學是學習者個人建構的過程，他們帶著自己原有的知識背景、活動經驗和理解走進學習活動，并通過自己的主動活動，包括獨立思考和與他人交流等，去建構對數學的理解.

二、實施“數學過程”的路徑

數學教學活動就是學生學習數學，探索、掌握和應用數學知識的過程，所以構建合適的數學活動，是實施“數學過程”的重要路徑.下面結合蘇科版新課標七年級下冊“三角形內角和”第1課時的教學設計，談談自己的一些實踐和思考.

1.架設“已知”與“未知”之間的橋梁，經歷新知的形成過程

在數學新授課中，每一節課的開始，總是先探究新知的產生與形成，然后理解與應用.而讓學生親身經歷新知的形成過程，通過思維與情感的投入，能促進知識的理解，積累數學活動經驗，形成主動探究的意識.

而要學生能順利有效地投入到整個過程，必須以學生已有的生活經驗和知識經驗為基礎，架設“已知”與“未知”之間的橋梁，設計有趣而有序的問題情景.

教學片段1：探究新知.

師：小學時，我們是如何得到三角形的內角和？

生1：先畫一些不同的三角形，再利用量角器測量三角形的三個內角的度數后求和.

生2：先畫一些不同的三角形，將三角形的角分別剪下來，然后將他們拼起來，發現構成了平角.

師：其實我們還可以畫出無數個三角形，但不可能對所有的三角形都進行這樣的操作，那么我們怎么去說明所有的三角形的內角和都是180°呢？

設計意圖：這個問題是進行下面探究的起因.操作只是對部分對象進行的探究，那么由部分對象獲得的結論是否適合所有的對象呢？我們可以利用所學的數學知識進行推理論證，這樣將隱藏在學生內心深處無法表達的問題顯現出來，能有效地培養學生的問題意識，激發進一步探究的欲望.

師：如圖1，直線c與直線a、b分別相交于A、B兩點，a∥b.這個圖形與“三角形內角和為180°”有聯系嗎？

圖1

設計意圖：這個問題對學生來說，有一定的挑戰性，因為平行線與三角形在圖形上根本無明顯的聯系可言，同時七年級學生還沒有接觸過這樣形式的問題，課堂上也很可能遭遇冷場，但是只有不斷地把思考的主動權交給學生，學生的主體地位才能得以保障，才能不斷地激發學生的認知潛力.而為了后繼教學，教師應充分做好預案，促進教學活動的有序開展.

預案：圖1的圖形與三角形雖然沒有任何聯系，但是由a∥b，你可以得到哪些結論？這些結論中有與“三角形內角和為180°”相似之處嗎？

生：兩直線平行，同旁內角互補，互補即180°.

……

設計意圖：運用元認知的發問，漸進地促進學生的認知發展，以使學生的思維活動盡可能地處于其能力的極限狀態，達到合理而高效的建構.

師：下面看如何利用這個聯系，來說明“三角形內角和為180°”.如圖2，把木條a繞點A轉動，使它與木條b相交于點C.從圖1到圖2，圖形發生了什么變化？你能利用圖2說明“三角形內角和為180°”嗎？

圖2

設計意圖：為什么要通過活動而不是直接引導學生作平行線進行證明呢？學習要建立在學生已有的經驗基礎上，只有建立在已有的經驗基礎上的學習，才能促進學生主動地建構.七年級學生還是以形象思維為主，直接證明過于抽象，學生不易想到，所以通過這個活動，讓學生能直觀地感受到兩者之間的聯系，從而為解決問題提供思路.只有關注學生經驗基礎的教學才是有效的.

師：已知△ABC，你如何說明“△ABC的內角和為180°”呢？

生：“構造圖2的形狀”來說明，……

師：你還可以從別的地方作平行線來說明嗎？

……

師：很好，我們剛剛把一個陌生的問題（三角形的內角和問題）轉化為熟悉的問題（平行線問題）來解決的，這就是轉化的思想方法.轉化思想是初中數學中常見的一種思想，它的應用十分廣泛，我們在解決數學問題時，常需運用將復雜的問題轉化為簡單的問題，將生疏的問題轉化為熟悉的問題，將難以解決的問題轉化為容易解決的問題，將待解決的問題轉化為已解決的問題.

設計意圖：為什么還要重新畫一個三角形，要求學生去“構造圖2”或用其他的方法再來說明三角形的內角和等于180°呢？上面的操作過程，學生只是感受到兩者之間的聯系，思維中并沒有形成“轉化”的思想方法的應用結構，所以要撇開原型，利用前面的數學活動獲取的經驗，進行重新建構，從而深刻理解“轉化”的過程，并能在以后的學習中主動地運用.

從操作中獲得猜想，引導發現猜想的結論與已有的知識之間的聯系，從而獲得結論成立的理由，學生在探究中獲得三角形內角和是180°的結論，學會了有條理地思考和表達，更主要的是獲得了解決問題的方法和策略——操作、觀察、猜想、說理，這必定對其以后的學習產生積極的影響.

2.構建“有序”且“跳躍”的問題，以便形成解決問題的方法

在獲得相應的結論后，鞏固與練習是課堂活動的另一個重要的內容，這個內容的特征是設計一系列問題，讓學生來解答，而這些問題的設計要在難度上注意層次性，在解決上注意暗示性與遞進性.

教學片段2：練習與鞏固.

練習1.出示問題：根據圖3填空.

（1）n=________；（2）y=________；（3）x=________.

（4）△ABC中，∠A+∠B=80°，∠A=2∠C，求△ABC的三個內角.

練習2.（1）如圖4，AC、BD相交于點O.∠A與∠B的和等于∠C與∠D的和嗎？為什么？

圖4

圖5

圖6

（2）如圖5，你能發現與（1）類似的結論嗎？

（3）如圖6，已知∠B=30°，∠C=30°，則∠HED與∠GDE的和等于多少？

設計意圖：練習1是三角形內角和的簡單應用，其中（1）、（2）是已知角的度數，直接加減求解，（3）、（4）不是直接已知角的度數，而是已知角之間的關系，可通過列方程進行求解.這些問題在方法上具有遞進性，學生在解答時，通過對比，發現異同，加深對方法的理解.

練習2的第（1）題是課本例題，目的是滲透初步的演繹推理，讓學生感受到說明圖形的一些性質也可以運用演繹推理的方式獲得.引導學生得出正確的結果后，還要引導學生應用所學知識正確地表述求解（推理）過程.為了達到這一目的，可讓學生先“說”，“說”是一種出聲的思維，“說”是一種數學交流，實踐證明會“說”的一定會“寫”.

練習2的第（2）題是第（1）題的“變式”，是為了培養學生將新舊知識進行遷移的能力，遷移能力是學習的一種重要的能力.

練習2的第（3）題是第（2）題“變式”，是為了培養學生的轉化問題的能力，通過第（2）題的“原型”啟發，希望學生將其轉化為第（2）題的形式進行求解，進一步體驗轉化思想的應用.這些問題在方法上具有暗示性.學生在解答時，通過不斷地對比、轉化，能激發學生探究的欲望，自主形成科學的思維方法.

練習3.如圖7，在△ABC中，AE是角平分線，且∠ABC=30°，∠ACB= 80°.你能求出圖中哪些角的度數？

練習4.如圖8，在△ABC中，AE、BD是角平分線，且∠ACB=80°.你能求出∠AOB的度數嗎？

設計意圖：難度上具有層次性，先引導學生分析練習3，并歸納解題經驗：尋找圖形中有哪些三角形，然后結合條件，確定已知角的度數，再利用三角形的內角和，求出未知角的度數.如果找不到，可以根據圖形想辦法構造出三角形（如練習2第（3）題）.對于練習4，讓學生學會將復雜圖形分解為簡單的圖形后再進行思考.

圖7

圖8

3.暴露自己的“智慧”與“不足”，形成良好的情感體驗

教師不要急于分析解題思路，這時，教師可通過巡視，確定有多少人不會做.而提問時，不要直接提問會做的學生，可提問那些不會做的學生，看看他們的思維過程，這時教師可結合學生的思維進行引導與交流.

教學片段3：對話與交流.

請看下面解決練習4時，師生的對話.

師：你覺得這道題不好做是嗎？那你能說說不好做的原因嗎？

生：要求∠AOB，必須求出∠BAO與∠ABO的度數，但只知道∠ACB=80°，無法求出∠CAB和∠CBA，所以我覺得做不出來.

設計意圖：我們就是要看看學生是怎么想的.這是這個學生做不出這道題的原因，也是解決這道題的關鍵，他的問題也在啟發其他的同學進行思考.以這樣的方式得到解決這道題的關鍵，要比教師直接說出來的效果好很多倍！我們教學的目的是要將那些不會的學生教會，而不是讓會的學生進行表演；我們的教學，應是促進學生主動建構，而不是直接給予.

我們要關注問題，不但要關注教師如何設計問題，還要引導學生學會提出問題，更要關注學生在解決問題時，使思維受阻的原因在哪里？“讓學生說說不會解的原因”是我們獲取學生在解決問題時思維受阻原因的一個直接而方便的方法，然而在我們的課堂上，這一個環節是最易被教師所忽視的.

先留給學生一定的思考時間，只有在學生思考了并發現自己在什么地方出現障礙以后，教師的提示才能納入學生的認知結構.

方法只有經過一定的體驗，才能有深刻的感受，才能感覺其可貴，我們一定要為學生提供自我建構的時間和空間.在學習中，有創見，當然予以表揚，但是能勇于承認自己不會，并能說出自己失敗的原因，更是難能可貴，經歷了失敗、反思的成功過程，必能形成對數學良好的情感態度與價值觀.

4.學會反思，點燃學生的智慧

弗賴登塔爾指出：“反思是重要的數學活動，它是數學活動的核心和動力.”反思就是用新的數學觀念去重新審視已經積累起來的知識、技能和方法，重新組合形成一個新的知識結構.在數學教學中，要讓學生感受反思的必要性，培養反思的習慣，學會反思的方法.

教學片段4：回顧反思，主動建構.

為了使學生對本節課有一個完整而深刻的認識，設計以下問題結束本課教學.

問題1：本節課你學到了哪些知識？

問題2：在探求三角形內角和為180°時，你獲得哪些經驗？是如何獲得說理思路的？

問題3：在利用三角形內角和解決問題時，你遇到過什么困難？你自己想到了什么方法？現在你學會了幾種方法？這些方法是怎樣獲得的？

設計意圖：小結既要注重引導學生對知識與技能的再認識、再回顧，更要注重對過程與方法的再思考、再升華、再提煉，將研究問題的策略性知識與思想通過小結加以再現，以促成知識與方法的有機融合.

我們要明確每一節課的反思任務，不僅是對知識簡單的復述，還要注意數學活動經驗和數學思想方法的反思，要反思知識的形成過程，要反思知識之間的聯系，反思解決問題的方法與技巧.在教學中如果經常設計反思的教學環節，長此以往，學生將逐漸意識到反思的必要性.在課堂教學中，我們不能僅僅把學生置與“活動”之中，還要置于“反思他們的活動”之中，才能促進理解，從而更好地進行建構活動，實現良好的循環.W