基于問題成于發現*
——涵育問題意識的“一元二次方程”復習課教學

☉山東省濱州市北鎮中學初中部 邢成云

基于問題成于發現*
——涵育問題意識的“一元二次方程”復習課教學

☉山東省濱州市北鎮中學初中部 邢成云

魯巴克說過：“最精湛的教學藝術，遵循的最高準則就是讓學生自己提出問題”.世界上許多發明創造都源于“疑問”，“質疑”是開啟創新之門的鑰匙.但要學生能發現問題、提出問題，能主動地質疑問難，就需要執教者營造一個激發學生動機的場，這個場就是心理自由的課堂氛圍，場營造好了，再輔以模仿、類比、逆向探測等常見的誘發創新思維的路徑，面對此場，學生才能心有觸動，才會有話可說.

一元二次方程作為初中學段的核心知識，內容豐富多彩，思想方法充盈，同時也是落實數學應用價值的良好素材.但作為復習課，若處理不慎，學生往往情緒不高，這種“似曾相識”、沒有多少新鮮度的課堂，難使學生有心靈的震撼、智能的挑戰.緣于此，復習課的思路需要打開，需要沖破這種常態的平淡，需要精心設計具有挑戰性的問題，激發起學生的復習欲，讓學生體悟到復習課同樣思維靈動、激情四射，變“被動”為“主動”！通過“學答”到“學問”的轉變，涵育學生的問題意識，發展創新思維，讓復習課成為知識內化、方法再建、思想升華的平臺.

一、教學目標

（1）以開放題為先行組織者，喚醒對一元二次方程的概念、解法及其根與系數關系等知識的認識，在交流中加深對它們的理解，發展思維力，涵育問題意識.

（2）通過交流活動，感知方程的個性特點對優化選擇解方程方法的定位，滲透解題的策略意識.

（3）通過系數由數到字母的提升，再次開放，在編擬與形成思路的過程中，提高綜合運用知識的能力.

（4）通過開閉結合的方式加強知識的聯系，構建起一元二次方程的知識脈絡體系，明確思路，完善認知.

二、課堂實錄

1.開放思維，啟動課堂

師：根據自己對一元二次方程概念的理解，寫出一個你喜歡的一元二次方程.

6生板演，其他同學同位互查.

生1：2x2+3x-4=0.（老師將該方程標為（1））

生3：2x2+x-3=0（.教師將該方程標為（3））

生4：x2-3=0.（教師將該方程標為（4））

生5：x2+5x=0.（教師將該方程標為（5））

生6：ax2+bx+c=0.（教師將該方程標為（6））

師：就這6位同學寫出的6個方程（為表述方便，編了序號），誰能提出一些問題供同學們思考？

生7：判斷他們寫的方程是否是一元二次方程.

生8：分別解這些方程.

生9：不解方程，判斷這些方程實數根的情況.

生10：不解方程，求每一個一元二次方程兩根的平方和.

……

師：同學們的表現非同一般，能提出這么多好問題！下面我們首先解答生7提出的問題.

大部分學生認為方程（1）~（5）都是一元二次方程，而（6）不是，有少數學生質疑方程（3）和（6）.

師：既然有不同的聲音，我們就重新審視一下方程（3）、（6），認為（3）不是一元二次方程的同學說一下自己的理由.

生11疑惑地面向老師.

生眾（接）：單獨的一個數或一個字母都是單項式.

生11點頭認同.

師：對（6）有疑問的同學請回答.

生12：老師我現在知道了，需要a、b、c為常數，并且a不等于0才行.

師（追問）：那你能寫出一個含字母的一元二次方程嗎？

生13：能，3x2+px+q=0，p、q都是常數.

師：好！不錯.對于解方程，我相信同學們都能操作，現在我們不具體求解，看分別用什么方法較為合適.

生眾：（1）求根公式法；（2）配方法；（3）求根公式法；（4）直接開平方法；（5）因式分解法.

師：說得很好，對于解方程而言，方法選擇很重要，它關乎著解題的速度與質量，那么面對一元二次方程的求解，你如何進行方法選擇呢？請表述一下自己的觀點！

生14：缺一次項的一元二次方程適合直接開平方；缺常數項的適合因式分解（提公因式）；二次項系數為1且一次項系數為偶數的適合配方法；其他用“萬能”求根公式.

師；總結的不錯，具有一定的普適性，同學們是這樣想的嗎？

生眾：是的，差不多.

然后分組依次解答生9、10的問題.

限于篇幅，本環節過程略.

師：好，同學們一股腦兒提出了這么多問題，并做了解答，特別是識辨出了生6提供的方程不是一元二次方程，表現不錯，下面哪一位同學對方程（1）做一下改造，使得系數變為待定字母，增加一點挑戰性？

生15：我變二次項系數，把“2”改為“2m-1”.

師（板書出來）：（2m-1）x2+3x-4=0，這還是一元二次方程嗎？

生眾有的說是，有的說不是.

師：為何不一致了，到底是不是呢？請同學們思考后交流.

生眾：當m為常數時，就是一元二次方程；可以說是關于x的一元二次方程……

師：這些同學說得合理嗎？

生有的說不對，要保障是一元二次方程，需要2m-1≠0.

師：對，只有界定了2m-1≠0，才能保證它是關于x的一元二次方程，否則，就是一元一次方程了.這是這類問題的一道坎兒，需要我們當心！剛才同學們說得都非常好，說明同學們對概念領會的不錯.我們就這一方程（2m-1）x2+3x-4=0，能否再提出幾個問題供思考、解答？

師甄別選擇，鎖定以下7個問題，并編序號（7）~（12）.

生16：m為何值時，方程有兩個不同的實數根？（標為（7））

生17：m為何值時，方程有兩個相同的實數根？（標為（8））

生18：m為何值時，方程沒有實數根？（標為（9））

生19：m為何值時，方程有實數根？（標為（10））

生20：若一個根為1，求m的值，并求方程的另外一個根.（標為（11））

生21：m為何值時，方程的兩根互為倒數？（標為（12））

……

師：同學們都有了自己的問題，現在呈現給大家6個較為典型的問題，請各位同學先思考定位，不具體求解，5分鐘后交流思路

生22：對于問題（7），讓根的判別式大于0，然后解關于m的不等式.

生23（反駁）：不行，要用根的判別式，需要保證它是一元二次方程，本題說“方程有兩個不同的實數根”暗示了這是個一元二次方程，因此要補上“2m-1≠0”！

生眾表示認同.

生24：對于問題（8），在2m-1≠0的前提下，讓Δ=0，解方程后綜合確定即可.

生25：對于問題（9），在2m-1≠0的前提下，讓Δ＜0，解它們組成的不等式組即可.

生26（質疑）：不用考慮2m-1≠0，因為若2m-1=0，它就是一元一次方程3x-4=0，一定有實根.

掌聲響起.

師（點評）：這位同學認識深刻，想的全面，的確，不需要考慮2m-1的限制，可若改為“m為何值時，一元二次方程沒有實數根？”，同學們認為該如何思考？

生眾：那就必須要保證2m-1≠0了！

師：說得好！有時候區別就在細節上，認真審題至關重要！

生27：對于問題（10），我認為它就是問題（7）、（8）綜合在一塊，在2m-1≠0的前提下，讓Δ≥0，解它們組成的不等式組即可.

生28：方程有實根，并沒有說有兩個實根，因此，只考慮當2m-1≠0時Δ≥0，不全面，還需要考慮2m-1=0時的情形.

師（面向全體）：同學們認為呢？

生眾認同生28的說法，但大部分表示也沒想到.

師：這位同學考慮得全面，實際上這樣的不確定問題，離不開分類思考.他值得我們全體同學學習！

響起掌聲.

生29：對于問題（11），只要依據根的定義將x=1代入方程求解即可，m一旦知道，解方程就可以求出另一個根.

生30（補充）：我還有另外的方法，設另一個根為x0，直接使用“根與系數的關系”得1+x0=-解方程組即可.

師：這位同學另辟蹊徑，巧妙地利用“根與系數的關系”，通過構造方程組求解，值得借鑒！

生31：對于問題（12），由倒數我想到兩根乘積為1，由此聯想到“根與系數的關系”，這個問題要依次考慮三點，一要保證是一元二次方程，二要有實根，三要兩根積為1.

師：分析得頭頭是道，可見功力不淺啊！

大部分學生對生31的說法感到茫然.

生32：我知道了，對于問題（12）這類題，既然想使用“根與系數的關系”，就應該保證它的使用條件：是一元二次方程且有實根！也就是需要考慮三點：一是一元二次方程，二是Δ≥0，三是根與系數關系的使用.

師：說得好！實際上解決這類問題形成了一條思維鏈，誰能歸納一下？

生33：ax2+bx+c=0（a、b、c是常數，a≠0）→Δ≥0→根與系數的關系.（說明：箭頭是筆者加的）

師：這三位同學非常了得，以不同的形式給出了同樣的思考鏈條！說實在的，這些問題都超出了我們學習的基本范疇，但若能有序思考，對我們以后的學習是非常有幫助的.至此，這幾個問題已經較圓滿的解決了，復習至此，是不是感覺復習內容還有缺漏？

生眾：還有方程的應用沒有復習.

師：是的，下面我們就把這一缺口填補上.

教學說明：從封閉性設計向開放性設計轉換，并有意識地引導學生自己提出問題，這是對學生問題意識涵育的重要路徑，能讓學生體驗到問題的提出不只是老師的專利，學生同樣可以有自己的問題，可以解答自己的問題，而不僅僅是解答老師提出的問題，這種編擬問題的成就感會催動學生的深度思考，會助力于學生思維的發展，為創新意識的萌動積蓄能量.本環節教學對此做了較好的詮釋.

2.應用情境，思維馳騁

問題：如圖1，用長度為40米的籬笆靠著一面18米長的墻（CD所在的線段）圍成矩形場地，用來作雞和1·x0=舍.就現有條件，你能提出一個有關一元二次方程的問題嗎？

圖1

生34：AB多長時，雞舍的面積為150平方米？

生35：雞舍的面積可以是250平方米嗎？

……

師：同學們提的問題很好，和命題專家想的基本一樣，同學們提的這兩個問題我們能解決嗎？給大家5分鐘解答時間，然后交流.

限于篇幅，交流略.

教學說明：本環節繼續采用開放的形式，以激發學生面對情景的問題意識.由于搭建了放逐思維的平臺，學生的問題涌動，把老師的預設給擺了出來，達到了預期的效果.

3.所思所惑，皈依原點

群言提煉，如下所示.

（1）基本線索.一元二次方程的概念→（選擇方法）解一元二次方程→根的判別式→根與系數的關系→實際應用.其核心：一元二次方程的求根公式，因為它上承配方法，下接根的判別式、根與系數的關系.

（2）知識鏈修補點.一元二次方程ax2+bx+c=0中的a≠0；Δ的使用條件；根與系數的關系的使用條件（高標要求）；對有實根的認識.

（3）思想方法再現.方程思想、模型思想、分類思想等.

設計意圖：返扣基礎是復習課教學的出發點，同時也是需要回歸的原點，萬物歸根，只有尋覓到問題的根，思維才有基，才能簡約思維，壯大思維.

三、教后反思

1.完善知識鏈條

從邏輯上講，一元二次方程的定義、解法、根的判別式、根與系數的關系構成了一條知識鏈，環環相扣、層層推進，構成了一個完整的、無缺口的單元知識結構.而學生在知識結構的構建、理解上的偏差和學習上的遺忘等諸多原因，表現在“四基”上常常會出現缺口.因此，對學生而言，它可能是一個不完備的數學知識結構體系.基于此，筆者組織了本節的復習.要使知識穩固通透，思維縝密深入，需要我們加強對“四基”的梳理，使它們能順利鏈接、有效融匯，“厚積”方能“薄發”.因此，復習首先要實現的就是有效地把每個知識點串起來，讓知識成為一條完整的鏈子，便于存貯與提取.本節教學通過三次開放，在引領學生自己提出問題上下足了功夫，并適時收口，甄別選擇，為自己的預設課堂所用，喚醒舊知，形成知識的內在關聯，較好地達到了完善知識鏈條的目的.

2.涵育問題意識

現行的教育之弊造就了孩子們的“坐等靠，不思考”，面對問題自己不想法，往往等待著老師的“無私奉獻”，更不用說主動地提出問題了.基于這種現實，新的課標修訂版明文將“兩能”變“四能”，擺正了發現問題、提出問題的地位，將其置于能力培養的入口.鑒于以上思考，筆者在本節課中，自始至終以激發學生的問題欲、激活學生的問題因子為先導，引領學生的創新之為，通過問題的一路開放，誘使學生主動提出問題、創編問題，開放所彌散出的思維自由場，使得不同層次的學生都有話可說，不至于在復習課上被邊緣化，大大提高了學生的參與度.縱觀課堂，不管學生的數學水平高低，他們都帶著自己的知識經驗、思考、靈感參與到課堂教學活動中來，給課堂注入了活力，進而在復雜多變的教學情境的交互作用與碰撞中，觸及到學生的思維深處，不斷地萌生出新的問題，可謂亮點頻閃.作為課堂的組織者，及時甄別并捕捉到了這些生成性資源，如一開始的6個方程、鎖定生7至生10的4個問題以及序號問題（7）~（12）、生34、生35的問題，這些均出自學生，是學生思考成果的見證，筆者將其整合、組織、協調、策劃，把它們作為進一步開展教學的素材，問題意識就在這你來我往的過程中得以滋養、得以涵育.

本節教學，更多地關注學生如何“學”、如何“問”，努力實現學生自己鉆研、領悟和感受的過程，放手讓學生嘗試觀察、發現、歸納、比較等，讓學生在親歷親為的過程中，落實基礎知識的夯實、基本技能的熟練、思想和方法的心領神會、基本活動經驗的積累提升.“問題讓學生提，方法讓學生悟，思路讓學生講，錯誤讓學生析”在本節課得以自由“綻放”.

1.吳亞萍.數學課堂教學的“三放三收”［J］.基礎教育月刊，2006（3）.

2.吳立建.一堂復習課的教學實錄與反思［J］.數學通報，2006（11）.

3.陳先榮.對課程目標新增“發現和提出問題的能力”的認識［J］.中學數學（下），2012（10）.WG

*本文系山東省教學研究課題《基于學生發現問題、提出問題的課堂教學研究》（課題編號：2014YB0239）的階段性成果之一：基于學生發現問題、提出問題的復習課教學研究，課題主持人：邢成云.