確立條件優(yōu)先之策略合理規(guī)劃運算之思路
——以二次根式計算（化簡）為例

☉江蘇省張家港市梁豐初級中學(xué) 邵美琴

確立條件優(yōu)先之策略合理規(guī)劃運算之思路
——以二次根式計算（化簡）為例

☉江蘇省張家港市梁豐初級中學(xué) 邵美琴

在二次根式的教學(xué)中，無論是二次根式的計算，還是二次根式的化簡，學(xué)生都十分容易出現(xiàn)運算方面的錯誤.究其原因：一方面是學(xué)生對基本概念掌握不牢，對基本法則掌握不透，易發(fā)生這樣或那樣的錯誤；另一方面是二次根式的計算（化簡）中，常常會涉及有理數(shù)的計算、整式的乘法和分式的化簡等知識，有的學(xué)生這方面的知識本身比較薄弱，綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力不夠，有些二次根式中含有較多的字母，而且這些字母大多數(shù)情況下是有限制條件的或者隱含著條件，學(xué)生在計算（化簡）時經(jīng)常會忽略這些條件，出現(xiàn)各種各樣讓人意想不到的錯誤.針對上述情況，在我們平時的課堂教學(xué)中，首先，要把二次根式的基本概念、基本法則講清楚、講透徹，特別要注重基礎(chǔ)性問題的訓(xùn)練，使得學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能達到熟練掌握的程度；其次，要培養(yǎng)學(xué)生理性審題的習(xí)慣，學(xué)會認(rèn)真分析二次根式中所含式子（數(shù)據(jù)）的形式、隱含的條件，確立條件優(yōu)先、運算其次的意識，在計算的過程中，要不斷進行方法的比較，讓學(xué)生掌握運算的要領(lǐng)、規(guī)律以及注意事項，使得方法不斷優(yōu)化，思維更加完善.下面結(jié)合筆者課堂教學(xué)的實例，進行一些簡單的分析，以期對讀者有一定的啟迪.

一、“數(shù)據(jù)”處理優(yōu)先，運用法則其次，讓計算過程順暢、自然

在二次根式的計算中，有些問題常常會涉及比較復(fù)雜的數(shù)據(jù)，如果直接使用法則忙于把每個式子作計算，因步驟繁多，難免會出現(xiàn)運算錯誤.因此，我們應(yīng)先把相關(guān)的數(shù)據(jù)進行處理，通常的做法是將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù).這樣處理后再應(yīng)用法則，就能一鼓作氣進行約分等計算，使得計算的過程順暢、自然，提高運算的速度與正確率.

點評：魯迅說，世間最不行的是讀書者，較好的是思考者，更好的是觀察者，他是用自己的眼睛去讀世間的這部書.我們解題時也一樣，首先要學(xué)會觀察、分析，然后多角度、多維度地思考，尋求不同的解題思路，通過嘗試、比較，選擇最佳的解題方案.有意識地加強這方面的訓(xùn)練，學(xué)生的思維會更加完善，解決問題的方式才會變得更為靈活.

二、“式子”觀察優(yōu)先，應(yīng)用性質(zhì)其次，讓條件變得簡約、明晰

在二次根式的化簡中，有些問題的題設(shè)條件較少，常常需要我們優(yōu)先觀察、整理式子，從基本概念出發(fā)，弄清條件與概念之間的有機聯(lián)系，為解題思路的確立做好鋪墊.著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“回到定義中去”.此時，我們的解題世界常常會別有洞天.

此時，x+1＞0，x-2≤0，因此，|x+1|-|x-2|=x+1-（2-x）= 2x-1.

解法2：觀察方程兩邊的特征，可知｛x≥0，解得2-x≥0，0≤x≤2.

以下同解法1.

點評：解法1關(guān)注左邊的被開方數(shù)可以通過因式分解整理化簡，再利用絕對值及二次根式的定義找到解題的突破口，讓條件變得簡約、明晰，應(yīng)用起來也順理成章；解法2回到了定義，回歸到了基礎(chǔ)，由二次根式的定義可得到“二次根式的雙非負(fù)性”，即：①中，a≥0；②≥0，利用這一性質(zhì)解題是我們常用的方法之一，在二次根式的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)予以加強.

所求實數(shù)m的值為0、1、3.

點評：求解含參數(shù)的方程的整數(shù)解是初中數(shù)學(xué)競賽中最常見的題型，利用“二次根式的雙非負(fù)性”確定上述方程實數(shù)根的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵，而分類討論則是解決方程整數(shù)解問題最常用、最有效的方法.問題的解決足以說明：知識經(jīng)驗是解題的基礎(chǔ)，聯(lián)想轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，良好的認(rèn)知建構(gòu)是解決問題的保障.

三、確定字母范圍優(yōu)先，根式化簡其次，讓恒等變形有依據(jù)、有目標(biāo)

數(shù)學(xué)家克萊因說過：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是心靈最獨特的創(chuàng)作，音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上一切.”面對相同的式子，不同的人會有不同的解決之道，而有時字母范圍的優(yōu)先確定，會讓我們少走許多彎路、錯道，讓恒等變形的過程變得科學(xué)、合理.

解法2：同解法1得x＜0.

點評：學(xué)生在解答本題時，往往不考慮x、y的取值范圍，誤認(rèn)為它們都是正數(shù)，不挖掘x的隱含范圍，急于求成，造成各種各樣的錯誤.因此，不管是解法1還是解法2，都必須優(yōu)先確定字母x的取值范圍，才可能獲得正確的結(jié)果.解法1注重通性通法，利用了分母有理化和絕對值的概念，由“內(nèi)”而“外”、有條不紊地進行化簡；解法2“里”應(yīng)“外”合，出奇制勝，把非負(fù)數(shù)-x看作一個整體，由“外”向“內(nèi)”進行合理的運算，解法也相當(dāng)簡潔，讓學(xué)生充分體會了逆向思維的獨特性.同時告訴學(xué)生，在運用二次根式的性質(zhì)解題時，既要注重性質(zhì)成立的條件，又要學(xué)會性質(zhì)的“正用”與“逆用”.特別地，將字母因式從根式“內(nèi)”移到根式“外”或從根式“外”移到根式“內(nèi)”，都必須考慮字母因式隱含的條件.

的值.

解：由題意知x+y＜0，xy＞0，所以x＜0，y＜0.

四、等價轉(zhuǎn)化條件優(yōu)先，代入演算其次，讓條件與結(jié)論之間有橋梁、有銜接

著名的數(shù)學(xué)家、莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”.在二次根式的計算中，很多問題的條件是以無理式給出的，它與結(jié)論之間的聯(lián)系并不十分明顯，直接應(yīng)用往往需要經(jīng)過比較煩瑣的運算過程，解題的正確率會降低.因此，在平時教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)審題，靜心觀察，學(xué)會等價轉(zhuǎn)化條件，構(gòu)建條件與結(jié)論之間的橋梁.

點評：通過觀察數(shù)的特征，順利地構(gòu)造了對稱式這種整體，把煩瑣的無理數(shù)轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這是快速解決本題的關(guān)鍵，也是提高解題正確率的有效途徑.需要注意的是：在數(shù)學(xué)操作中實施等價轉(zhuǎn)化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理，數(shù)學(xué)的解題過程，就是從未知走向已知、從復(fù)雜過渡到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程.

點評：布魯納指出：掌握數(shù)學(xué)思想方法可以使數(shù)學(xué)更容易理解和記憶，更重要的是：領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法是通向遷移大道的“光明之路”.本例通過對條件等式兩邊平方，把無理方程轉(zhuǎn)化為大家熟悉的有理方程，視x+2為一個整體，讓條件與結(jié)論之間有了很好的銜接，使得解答過程巧妙、簡捷.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，提高學(xué)生的運算能力是貫徹始終的一項任務(wù)，一方面教師備課時要鉆研教材，研究學(xué)生，精選例題與習(xí)題，上課時要講清、講透，示范到位，有效訓(xùn)練；另一方面要加強師生之間的交流與溝通，用愛心喚起他們對教師和數(shù)學(xué)的興趣，及對自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，切實提高運算的正確率.最后，我們還應(yīng)當(dāng)注意以下兩個問題：一個是防止學(xué)生運算錯誤的發(fā)生，一個是學(xué)生產(chǎn)生了錯誤怎樣去糾正它，這兩者是互相聯(lián)系的，兩者相比，“防”重于“治”.在二次根式的教學(xué)中，我們更應(yīng)該做好這些基礎(chǔ)性的工作.WG